1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.2. Các tính chất hàm giới hạn của dãy hàm 24
2.2 Các tính chất hàm giới hạn của dãy hàm
2.2.1 Tính liên tục của hàm giới hạn
Định lý 2.2.1
Giả sử rằng dãy hàm {f n (x)} thỏa mãn các điều kiện sau:
1. f n (x) là hàm liên tục trên tập A, ∀n ∈ N ∗ .
2. Dãy hàm f n (x) hội tụ đều trên A đến hàm f(x).
Khi đó f(x) là hàm liên tục trên A.
Chứng minh: Do f n (x) hội tụ đều đến f(x) nên với mọi ε > 0 tồn tại n 0 = n 0 (ε)
sao cho với mọi n 1 > n 0 và mọi x ∈ A ta có:
|f n1 (x) − f(x)| < ε 3 .
Chọn x 0 bất kỳ thuộc A và n 1 > n 0 cố định, do f n1 (x) là hàm liên tục nên tồn tại
δ = δ(ε, n 1 ) sao cho ∀x ∈ A thỏa mãn |x − x 0 | < δ thì :
|f n1 (x) − f n1 (x 0 )| < ε 3 .
Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε, n 1 ) để ∀ x ∈ A và |x − x 0 | < δ ta có:
|f(x) − f(x 0 )| ≤ |f(x) − f n1 (x)| + |f n1 (x) − f n1 (x 0 )| + |f n1 (x 0 ) − f(x 0 )|
< ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε.
Vậy hàm f(x) liên tục tại x 0 bất kỳ thuộc A, tức là f(x) liên tục trên A.
Chú ý rằng hai điều kiện của định lý trên chỉ là điều kiện đủ để hàm giới hạn của dãy
hàm liên tục trên tập A chứ không phải là điều kiện đủ. Ta xét các vi dụ sau để thấy
rõ hơn điều đó.
Ví dụ 1: Ta đã biết dãy hàm f n (x) = x n hội tụ không đều đến hàm f(x) ≡ 0 trên
khoảng (0, 1), tuy nhiên hàm f(x) liên tục trên (0, 1). Mặt khác, dãy hàm f n (x) cũng
hội tụ trên (−1, 1] đến hàm:
{ 0 nếu −1 < x < 1
g(x) =
1 nếu x = 1
rõ ràng hàm g(x) không liên tục trên (−1, 1].
Ví dụ 2: Dãy hàm f n (x) = [ sin x] , dễ thấy mọi hàm thuộc dãy hàm này đều không
n
liên tục trên R vì lim f n(x) = 0, lim f(x) = −1. Tuy nhiên dãy hàm này hội tụ
x→0
+
x→0− đều đến hàm f(x) ≡ 0 là hàm liên tục trên R .
✷