1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

1.3. Sự hội tụ của chuỗi số bất kỳ 13
đó ∀p > 0:
∣
∣a n+1 b n+1 + a n+2 b n+2 + · · · + a n+p b n+p
∣ ∣
= ∣ ∣(A n+1 − A n )b n+1 + (A n+2 − A n+1 )b n+2 + · · · + (A n+p − A n+p−1 )b n+p
∣ ∣
= ∣ ∣ − A n b n+1 + A n+1 (b n+1 − b n+2 ) + .. + A n+p−1 (b n+p−1 − b n+p ) + A n+p b n+p
∣ ∣
≤ M. ∣ ∣
∣b n+1 + (b n+1 − b n+2 ) + · · · + (b n+p−1 − b n+p ) + b n+p = 2M.b n+1
ε
< 2M.
2M = ε.
Vậy với mọi ε > 0 tồn tại n 0 > 0 sao cho ∀ n > n 0 , ∀ p > 0 ta có:
|a n+1 b n+1 + . . . + a n+p b n+p | < ε.
Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi +∞ ∑
a n b n hội tụ.
Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi +∞ ∑
n=1
n=1
cos nx
n α , (α > 0).
✷
1. Nếu x = 2mπ, chuỗi có dạng +∞ ∑
n=1
1
hội tụ khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1.
nα 2. Nếu x ≠ 2mπ, đặt a n = cos nx, b n = 1 n
∑
α.
A n = n cos kx = 1 n∑
k=1 2 sin x 2 cos kx. sin x
2 k=1 2
= 1 n∑ [ x
sin(2k + 1)
2 sin x 2 k=1
2 − sin(2k − 1)x ]
2
= 1 [ x
sin(2n + 1)
2 sin x 2
2 − sin x ]
.
2
Do đó |A n | ≤ 1
| sin x 2 |, ∀ n ∈ N ∗ .
Mặt khác, dễ thấy dãy b n = 1 đơn điệu giảm dần về 0.
nα Vậy theo dấu hiệu Dirichlet chuỗi +∞ ∑ cos nx
hội tụ .
n α
n=1
Định lý 1.3.3 (Dấu hiệu Abel)
Giả sử chuỗi +∞ ∑
a n b n thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
n=1