1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.5. Chuỗi Fourier 53
b n = 1 π
π∫
−π
π − x
2
Vậy ta có khai triển:
sin nxdx =
π − x
2
(x − π)
2π
= π 2 + +∞ ∑
n=1
cos nx
n
∣ π − 1
−π 2π
(−1) n
sin nx.
n
π∫
−π
cos nx
n
Ví dụ 2: Khai triển hàm f(x) = x 2 thành chuỗi Fourier trên đoạn [−π, π].
Do f(x) là hàm chẵn nên b n = 0, ∀ n ∈ N ∗ . Ta có:
a 0 = 2 π∫
x 2 dx = 2 π 0 3 π2 ,
a n = 2 π∫
x 2 cos nxdx = 2 nx
x2sin ∣ π
π 0
π n
− 4 π∫
x sin nxdx
0 nπ 0
= 4 nx
xcos ∣ π
nπ n
− 4 π∫
cos nxdx = (−1) n 4
0 πn 2 n 2.
Vậy ta có khai triển:
0
x 2 = π2
3 + 4 ∞ ∑
n=1
(−1) n
cos nx.
Cho x = π và x = 0 ta lần luợt nhận được các chuỗi sau:
+∞∑
n=1
n 2
1
n 2 = π2
6 và +∞
∑
n=1
(−1) n−1
n 2
= π2
12 .
(−1)n
dx =
n .
2.5.3 Khai triển chẵn và khai triển lẻ
Định nghĩa 2.5.6
Giả sử f(x) là hàm khả vi từng khúc trong [0, π], hàm f ∗ xác định trên [−π, π] bởi
f ∗ (x) = f(x), ∀ x ∈ [0, π] và f ∗ (x) = f(−x), ∀ x ∈ [−π, 0], dễ thấy f ∗ (x) là hàm
chẵn và được gọi là thác triển chẵn của f(x) trên [−π, π].
Dễ thấy hệ số Fourier của f ∗ trong khai triển Fourier là :
a 0 = 1 π∫
f ∗ (x)dx = 2 π∫
f ∗ (x)dx = 2 π∫
f(x)dx.
π
π
π
a n = 1 π
b n = 1 π
−π
π∫
−π
π∫
−π
f ∗ (x) cos nxdx = 2 π
0
π∫
0
0
f ∗ (x) cos nxdx = 2 π
f ∗ (x) sin nxdx = 0, ( vì f ∗ (x) sin nx là hàm lẻ).
π∫
0
f(x) cos nxdx