1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.5. Chuỗi Fourier 56
a n = 1 π
b n = 1 π
π∫
−π
π∫
−π
g(y) cos nydy = 1 l
g(y) sin nydy = 1 l
∫ l
−l
∫ l
−l
f(x) cos nπx dx,
l
f(x) sin nπx dx.
l
Trở lại biến cũ x = ly ta được khai triển Fourier của f trong [−l, l] là:
π
f(x) = a 0
2 + +∞ ∑ (
a n cos nπx + b n sin nπx )
với các hệ số xác định bởi:
l
l
a 0 = 1 l
∫ l
−l
n=1
f(x)dx, a n = 1 l
∫ l
−l
f(x) cos nπx dx, b n = 1 l
l
∫ l
−l
f(x) sin nπx dx.
l
Ví dụ: Khai triển hàm f(x) = |x| trên đoạn [−1, 1] thành chuỗi Fourier.
Vì f(x) là hàm chẵn nên b n = 0, ∀ n ∈ N ∗ và ta có:
∫ 1 ∣
a 0 = 2 xdx = x 2 ∣∣
1
= 1,
0
0
∫ 1
sin πnx
a n = 2 x cos nπxdx = 2x
0
nπ
= 2
n 2 π 2[(−1)n − 1] =
Vậy khai triển Fourier của hàm |x| trên đoạn [−1, 1] là:
|x| = 1 2 − 4 π 2. +∞
∑
∣ 1 − 2 ∫1
sin nπx πnx
∣ ∣∣
1
dx = 2cos
0 0 nπ n 2 π 2 0
{ 0 nếu n = 2k,
− 4 nếu n = 2k + 1.
n 2 π 2
n=0
cos(2n + 1)πx
(2n + 1) 2 .