1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

1.2. Sự hội tụ của chuỗi số dương 8
Định lý 1.2.4 (Dấu hiệu Cauchy)
Cho chuỗi số dương +∞ ∑
a n , giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim n√
an =
n=1
n→+∞
c (hoặc lim n√
an = c), khi đó:
n→+∞
1. Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
2. Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Chứng minh:
1. Chọn c < q < 1, do lim n√
an = c nên ∃ n 0 sao cho ∀n ≥ n 0 ta có n√ a n < q
n→+∞
hay a n < q n , ∀ n ≥ n 0 . Mặt khác, do q < 1 nên chuỗi +∞ ∑
q n hội tụ. Theo
dấu hiệu so sánh ta có +∞ ∑
a n hội tụ.
n=1
2. Chọn 1 < q < c do lim n√
an = c nên tồn tại n 0 sao cho ∀ n ≥ n 0 thì
n→+∞
n√
an > q hay a n > q n , ∀ n ≥ n 0 . Mặt khác, do q > 1 nên chuỗi +∞ ∑
q n phân
kỳ. Theo dấu hiệu so sánh thì +∞ ∑
a n phân kỳ.
n=1
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của chuỗi +∞ ∑
(1 − 1 .
n )n2
Ta có lim n√
an = lim (1 − 1 1
n→+∞ n→+∞ n )n = lim
n→+∞(1 + 1 = 1 −n )−n e < 1.
Vậy theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ.
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi +∞ ∑
n n (sin 2 n )n
n=1
n=1
Ta có : lim n√
an = lim n sin 2 2
n→+∞ n→+∞ n = lim 2.sin n
n→+∞ 2
= 2 > 1.
Vậy theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi đã cho phân kỳ.
Chú ý: Trong định lý trên khi c = 1 thì ta không kết luận được gì vì khi đó chuỗi có
thể hội tụ hoặc phân kỳ. Ta có ví dụ sau để chỉ ra điều đó:
1
n=1 n và +∞ ∑ 1
đều có
n=1 n lim
2
chuẩn tích phân thì chuỗi +∞ ∑
Chuỗi +∞ ∑
n=1
n→+∞
√
n 1
n =
n
lim
n→+∞
1
n phân kỳ còn chuỗi +∞ ∑
√
n 1
n
n=1
n=1
n=1
✷
2
= 1, tuy nhiên theo tiêu
1
hội tụ.
n2