1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 103
IV.50.
a.
c.
e.
g.
IV.51.
∫ +∞
0
∫ +∞
0
∫ +∞
a.
c.
0
∫ 2
0
Bài tập chương 4
Khảo sát sự hội tụ đều của các tích phân sau trong các khoảng tương ứng:
3
∫
dx
+∞
1 + x , (1 < y < +∞) b. ln y x
y 1 x √ dx, (0 ≤ y < +∞)
x
∫
√ +∞
ye
−yx sin(x 2 )
2
dx, (0 ≤ y < +∞) d.
dx, (y ≥ 0)
1 + xy 0
∫ 1
e −y2 (1+x 2) sin ydx, (y ∈ R ) f. x p−1 ln q ( 1) dx, (p, q > 0)
0 x
x y dx
√ , (|y| < 1 ∫ 1
(x − 1)(x − 2)
2 2 ) h. sin(xy)
√ dx, (0 ≤ y ≤ 1).
|x − y|
Xét tính liên tục của các hàm số sau trong miền đã cho tương ứng:
∫ +∞
0
∫ +∞
0
ye −xy2 dx, (y ∈ R ) b.
e −(x−y)2 dx, (y ∈ R ) d.
∫ π
0
∫ +∞
0
0
sin x
dx, (0 ≤ y ≤ 2)
x y (π − x)
y
sin[(1 − y 2 )x]
dx, (y ∈ R ).
x
IV.52. Bằng phương pháp đạo hàm hoặc tích phân, hãy tính các tích phân sau với
điều kiện k, a, b, α, β > 0
a.
c.
e.
g.
i.
k.
∫ +∞
0
∫ +∞
0
∫ +∞
0
∫ +∞
0
∫ +∞
0
∫ 1
0
Các bài tập định tính
IV.53.
∫ +∞
e −kxsin(αx)
sin(αx). sin(βx)
dx, b.
e −kx dx
x
0 x 2
1 − e −x
∫ +∞
cos xdx, d. e −x2 cos(2xy)dx
x
0
(
e −αx − e −βx) ∫ 1
ln(1 − y 2 x 2 )
sin(xy)dx, f.
0 x 2√ dx, (|y| ≤ 1)
1 − x2 ∫
sin(ax). cos(bx)
+∞
sin 3 (xy)
dx, h.
dx
x
0 x
( sin(ax)
) 2dx,
∫ +∞
cos(ax) − cos(bx)
j. dx
x
0 x 2
ln(1 − y 2 x 2 ∫
)
+∞
e −ax − e −bx
√ dx, (|y| ≤ 1), m.
dx.
1 − x
2
x
Chứng minh rằng tích phân
theo tham số y trong miền y ≥ 0.
+∞ ∫
0
0
−xy
cos x
e dx, (0 < a < 1) hội tụ đều
xa