1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

1.2. Sự hội tụ của chuỗi số dương 4
1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương
1.2.1 Các dấu hiệu so sánh của chuỗi số dương
Chuỗi số +∞ ∑
a n mà mọi số hạng a n đều dương được gọi là chuỗi số dương .
n=1
Khi đó: A n+1 = A n + a n+1 > A n , tức là dãy tổng riêng tăng. Do vậy :
1. Nếu A n bị chặn thì tồn tại lim
n→+∞ A n = A tức là chuỗi hội tụ.
2. Nếu A n không bị chặn thì lim
n→+∞ A n = +∞ tức là chuỗi phân kỳ.
Định lý 1.2.1 (Dấu hiệu so sánh)
Giả sử +∞ ∑
a n và +∞ ∑
b n là hai chuỗi số dương thỏa mãn điều kiện: tồn tại n 0 và c > 0
n=1
n=1
sao cho a n ≤ c.b n , ∀n ≥ n 0 . Khi đó:
1. Nếu chuỗi +∞ ∑
b n hội tụ thì chuỗi +∞ ∑
a n hội tụ.
n=1
n=1
2. Nếu chuỗi +∞ ∑
a n phân kỳ thì chuỗi +∞ ∑
b n cũng phân kỳ.
n=1
n ∑
Chứng minh: Đặt: S n = a k , T n = b k , khi đó S n ≤ c.T n
k=n 0 k=n 0
n=1
n ∑
1. Nếu +∞ ∑
b k = n ∑0−1
b k + +∞ ∑
b k hội tụ suy ra chuỗi +∞ ∑
b k hội tụ, hay dãy T n bị
k=1 k=1 k=n 0 k=n 0
chặn bởi M suy ra dãy S n bị chặn bởi c.M, tức là +∞ ∑
a k hội tụ suy ra chuỗi
k=n 0
+∞∑
k=1
a k hội tụ.
2. Nếu +∞ ∑
a k phân kỳ tức là chuỗi +∞ ∑
a k phân kỳ do đó lim S n = +∞ theo bất
k=1
k=n
n→+∞
0
đẳng thức trên suy ra lim T n = +∞ tức là chuỗi +∞ ∑
b k phân kỳ suy ra chuỗi
n→+∞
k=n 0
+∞∑
k=1
b k phân kỳ.
✷