1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận thay đổi 88
4.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận thay đổi
Định nghĩa 4.2.1
Cho C 1 và C 2 là hai đường cong trơn nằm trong hình chữ nhật [a, b] × [c, d] có các
phương trình là x = α(y) và x = β(y), y ∈ [c, d]. Giả sử f(x, y) là hàm xác định
trong [a, b] × [c, d], khả tích theo x ∈ [a, b] với y cố định trong đoạn [c, d]. Đặt:
∫β(y)
I(y) = f(x, y)dx, y ∈ [c, d]
α(y)
.
Khi đó I(y) là hàm số xác định trong đoạn [c, d] và được gọi là tích phân phụ thuộc
tham số với cận thay đổi.
Định lý 4.2.2 (Tính liên tục)
Giả sử f(x, y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [c, d], α(y) và β(y) là
các hàm liên tục trong đoạn [c, d] có giá trị trong [a, b] thì tích phân phụ thuộc tham số:
I(y) =
∫
β(y)
f(x, y)dx, y ∈ [c, d]
α(y)
là một hàm liên tục trong đoạn [c, d].
Chứng minh: Với mỗi y 0 cố định thuộc [c, d], ta có:
I(y) =
β(y)
∫
α(y)
Đặt: I 1 (y) =
f(x, y)dx =
β(y
∫ 0 )
α(y 0 )
β(y
∫ 0 )
α(y 0 )
f(x, y)dx +
f(x, y)dx, I 2 (y) =
β(y)
∫
β(y 0 )
β(y)
∫
β(y 0 )
Ta sẽ chứng minh I 1 , I 2 và I 3 liên tục tại y 0 .
f(x, y)dx +
α(y
∫ 0 )
α(y)
f(x, y)dx, I 3 (y) =
f(x, y)dx
α(y
∫ 0 )
α(y)
f(x, y)dx.
Dễ thấy là I 1 liên tục tại y 0 vì nó là tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi.
Do f(x, y) liên tục trên [a, b] × [c, d] nên tồn tại M sao cho:
|f(x, y)| ≤ M,
∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d].
Suy ra |I 2 (y)| = |
β(y)
∫
β(y 0 )
f(x, y)dx| ≤ M.|β(y) − β(y 0 )|, ∀ y ∈ [c, d], vậy nên:
lim
y→y 0
|I 2 (y)| ≤ M. lim
y→y0
|β(y) − β(y 0 )| = 0