1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.1. Tích phân suy rộng loại 1 70
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của tích phân
Dễ thấy
Vì tích phân
lim
x→+∞
+∞ ∫
1
x 2 3
1 + x
dx =
x − 1 3
dx
x 1 3
lim
x→+∞
Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của tích phân
+∞ ∫
1
x
x + 1 = 1.
3√
x
2
1 + x dx.
phân kỳ nên tích phân đã cho phân kỳ.
+∞ ∫
1
x α e −x dx.
Đặt k = max{0, [α + 2] + 1} suy ra k > α + 2, áp dụng quy tắc Lopital k lần ta có:
x α+2 (x α+2 ) (1)
(x α+2 ) (k)
lim = lim = · · · = lim
x→+∞ e x x→+∞ (e x ) (1) x→+∞ (e x ) (k)
(α + 2)(α + 1) . . . ( α + 2 − (k − 1) )
= lim
= 0
x→+∞
x k−α−2 e x
do đó tồn tại b > 0 sao cho với mọi x > b thì xα+2
< 1 hay x α e −x < 1 e x x 2.
+∞ ∫ dx
+∞
Vì
x hội tụ nên ∫
x α e −x dx hội tụ.
2
1
1
3.1.3 Dấu hiệu Dirichlet và dấu hiệu Abel
Định lý 3.1.12 (Dấu hiệu Dirichle)
Giả sử f(x) và g(x) là 2 hàm xác định và liên tục trong khoảng [a, +∞). Hơn nữa:
1. Hàm f(x) có nguyên hàm bị chặn trong khoảng [a, +∞), tức là tồn tại số
M > 0 sao cho
|F (A)| =
∣
A∫
a
f(x)dx∣ < M, ∀ a ≤ A < +∞.
2. Hàm g(x) có đạo hàm liên tục trong khoảng [a, +∞) và đơn điệu dần về 0
khi x → +∞.
Khi đó tích phân
+∞ ∫
a
f(x)g(x)dx hội tụ.
Chứng minh: Gọi F (x) là nguyên hàm của f(x) trong khoảng [a, +∞), áp dụng
tích phân từng phần ta có: