1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.1. Tích phân suy rộng loại 1 67
Vậy tích phân
+∞ ∫
a
dx
hội tụ nếu α > 1 và phân kỳ nếu α ≤ 1.
xα Chú ý: Kết quả này là rất quan trọng vì nó được sử dụng nhiều lần trong cả lý thuyết
và bài tập.
3.1.2 Các dấu hiệu so sánh
Định lý 3.1.7
Giả sử f(x), g(x) là những hàm xác định trong khoảng [a, +∞), khả tích trong mọi
đoạn hữu hạn [a, A], (A > a) và:
Khi đó:
1. Nếu
2. Nếu
+∞ ∫
a
+∞ ∫
a
Chứng minh:
g(x)dx hội tụ thì
0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a, +∞).
+∞ ∫
a
+∞ ∫
f(x)dx phân kỳ thì
a
f(x)dx ≤
f(x)dx cũng hội tụ và ta có bất đẳng thức:
+∞ ∫
a
+∞ ∫
a
g(x)dx.
g(x)dx cũng phân kỳ.
1. Theo giả thiết f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a, A] nên:
A∫
A∫
F (A) = f(x)dx ≤ g(x)dx = G(A) với mọi A > a.
a
Cho A → +∞ ta có: F (A) ≤
Do f(x) ≥ 0 nên hàm F (A) =
a
+∞ ∫
a
A∫
a
g(x)dx = M < +∞.
f(x)dx tăng, hơn nữa nó bị chặn bởi M nên
+∞
tồn tại lim F (A) = N hữu hạn, tức là ∫
f(x)dx hội tụ.
A→+∞
2. Do
lim
+∞ ∫
0
A→+∞
+∞
f(x)dx phân kỳ và hàm F (A) =
0
A∫
0
f(x)dx tăng nên
F (A) = +∞. Mặt khác G(A) ≥ F (A), ∀ A > a suy ra:
∫
a
+∞
g(x)dx = lim G(A) = +∞, tức là ∫
g(x)dx phân kỳ.
A→+∞
a
+∞ ∫
0
f(x)dx =