1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 104
IV.54.
Giả sử hàm f(x) liên tục với x ≥ 0. Chứng minh rằng nếu tích phân:
I(y) =
+∞ ∫
0
x y f(x)dx
hội tụ với y = a và y = b, (a < b) thì tích phân I(y) hội tụ đều trong đoạn [a, b].
IV.55.
Chứng minh rằng tích phân:
+∞ ∫ x sin(βx)
dx, (α, β > 0)
α 2 + x2 hội tụ đều theo tham số β trong miền β ≥ β 0 > 0.
∫
IV.56. Chứng minh rằng tích phân I(y) =
0
+∞
1
cos(xy)
x a dx, (0 < a < 1) hội
tụ đều trong miền y ≥ y 0 > 0 và không hội tụ đều trong miền y > 0.
IV.57.
rằng:
IV.58.
rằng:
Giả sử f(x) là hàm khả tích suy rộng trong khoảng (0, +∞). Chứng minh
+∞ ∫
lim e −αx f(x)dx =
α→0 +
0
+∞ ∫
0
f(x)dx.
Giả sử f(x) là hàm liên tục và bị chặn trong khoảng [0, +∞). Chứng minh
π
lim
y→0 2
+∞ ∫
0
yf(x)
x 2 + y2dx = f(0).
∫ 1 sin ( )
y
x
IV.59. Chứng minh rằng hàm F (y) = dx liên tục trong khoảng (0, 1).
0 x y
+∞ ∫ sin(xy)
IV.60. Chứng minh rằng hàm I(y) =
dx có đạo hàm tại mọi điểm
0 x
y ≠ 0, tuy nhiên không thể lấy đạo hàm qua dấu tích phân.
+∞ ∫ cos x
IV.61. Chứng minh rằng hàm F (y) =
1 + (x + y) 2dx liên tục và khả vi trên
R .
0