1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

1.2. Sự hội tụ của chuỗi số dương 6
a n
3. Do lim = +∞ nên ∃n 0 > 0 sao cho a n
> 1, ∀n ≥ n 0
n→+∞ b n b n
hay a n > b n , ∀n ≥ n 0 mà +∞ ∑
b n phân kỳ nên +∞ ∑
a n cũng phân kỳ.
n=1
n=1
Ví dụ: Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương :
a. +∞ ∑ 1
b. +∞ ∑ 1
c. +∞ ∑
sin 1
n=1 n(n + 1)
n=1 n 2
n=1 n
a. Ta có A n = n ∑
k=1
1
k(k + 1) = ∑ n
k=1
suy ra lim
n→+∞ A n = 1, vậy chuỗi +∞ ∑
n=1
b. Từ bất đẳng thức :
Theo câu (a) chuỗi +∞ ∑
1
(n + 1) 2 < 1
n=1
( 1
k − 1 )
k + 1
1
n(n + 1)
= 1 − 1
n + 1
hội tụ.
n(n + 1) , ∀ n ≥ 2.
1
n(n + 1) hội tụ, suy ra chuỗi +∞ ∑
n=1
1
hội tụ.
n2 ✷
sin 1
c. Do lim n
n→+∞ 1
n
+∞∑
n=1
sin 1 n
phân kỳ.
= 1 và theo ví dụ 2 của định lý 1.1.4 chuỗi +∞ ∑
1.2.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương
n=1
1
n
phân kỳ nên
Định lý 1.2.3 (Dấu hiệu tích phân)
Cho chuỗi số dương +∞ ∑
a n và f(x) là hàm không âm, đơn điệu giảm và liên tục trên
n=1
đoạn [1, +∞) sao cho f(n) = a n , ∀n. Khi đó :
∫ t
1. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim f(x)dx thì chuỗi +∞ ∑
a n hội tụ.
t→+∞
1
n=1
∫ t
2. Nếu giới hạn lim f(x)dx = +∞ thì chuỗi +∞ ∑
a n phân kỳ.
t→+∞
1
n=1
Chứng minh:
1. Do hàm f(x) giảm nên :