1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 95
Khi đó nếu tích phân
trên tập Y .
+∞ ∫
Chứng minh: Giả sử tích phân
a
ϕ(x)dx hội tụ thì tích phân I(y) =
+∞ ∫
a
+∞ ∫
a
f(x, y)dx hội tụ đều
ϕ(x)dx hội tụ, vậy theo tiêu chuẩn Cauchy thì với
mọi ε > 0 tồn tại A 0 = A 0 (ε) sao cho với mọi A ′ > A > A 0 ta có ∣ ∫
A′
ϕ(x)dx ∣ < ε.
Vậy với mọi ε > 0 tồn tại A 0 = A 0 (ε)(không phụ thuộc y) sao cho với mọi
A ′ > A > A 0 ta có:
∫
∣ A′
f(x, y)dx ∣ ∫A ′
∫A ′
≤ |f(x, y)|dx ≤ ϕ(x)dx < ε, với mọi y ∈ Y .
A
Tức là tích phân I(y) hội tụ đều trên Y .
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ đều của tích phân:
Ta có:
Mặt khác,
0
A
+∞ ∫
∣
cos x ∣ ≤ 1
1 + x 2 + y 4 1 + x2, ∀ x, y ∈ R .
+∞ ∫ dx
1 + x = lim [arctg(A) − arctg(0)] = π 2 A→+∞ 2 .
0
A
cos x
1 + x 2 + y4dx, y ∈ [0, +∞).
Vậy theo tiêu chuẩn Weierstrass thì tích phân đã cho hội tụ đều trên R .
+∞ ∫ y 2
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ đều của tích phân I(y) =
e xy − xy dx, y ∈ [0, +∞).
Từ bất đẳng thức e t ≥ 1 + t + t2 , ∀ t ∈ [0, +∞), đặt xy = t ta có:
e xy − xy ≥ 1 + x2 y 2
> x2 y 2
2 2
suy ra ∣
y 2
∣ ≤ 2 e xy − xy x 2, ∀ x ∈ [1, +∞), ∀ y ∈ [0, +∞)
Ta đã biết tích phân
+∞ ∫
1
1
2
x2dx hội tụ, vậy tích phân đã cho hội tụ đều trên [0, +∞).
Tương tự như tích phân suy rộng, trong tích phân suy rộng phụ thuộc tham số ta cũng
có dấu hiệu Dirichlet và dấu hiệu Abel với chứng minh hoàn toàn tương tự như trong
phần tích phân suy rộng.
Định lý 4.3.5 (Dấu hiệu Dirichlet)
Giả sử hàm f(x, y) xác định với mọi x ≥ a, y ∈ Y , liên tục theo x ∈ [a, +∞) với
A
✷