1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.5. Chuỗi Fourier 58
II.16.
Khảo sát sự hội tụ đều của các chuỗi hàm sau trên các tập cho tương ứng:
a.
c.
e.
g.
i.
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
x n
, (x ∈ [−1, 1])
n b. 2
(−1) n
x + 2n, (x > −2) d.
+∞
∑
n=1
∑+∞ n=1
sin nx
n , (x ∈ [0, 2π]) f. +∞
∑
sin x. sin nx
√ n + x
, (x > 0) h.
x 2 e −nx , (x > 0) j.
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
cos nx
3 n , (x ∈ R)
cos 3nx
5√ (x ∈ R)
n6 + x2, (−1) n
, (x ∈ [0, 2π])
n + sin x
ln(1 + nx)
n.x n , (x > 3 2 )
x
1 + n 4 x2, (x ≥ 0)
II.17.
a.
c.
e.
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
Chứng minh các chuỗi hàm sau hội tụ đều trong các khoảng tương ứng:
1
x 2 + n2, (x ∈ R )
b.
n 2
√
n!
(
x n + x −n) , ( 1 2
≤ |x| ≤ 2) d.
(1 − x)x n , (x ∈ [0, 1]) f.
+∞
∑
n=1
∑+∞ n=1
+∞∑
n=1
nx
1 + n 5 x2, (x ∈ R )
cos(nx)
n 2 , (x ∈ R )
arctg
x
x 2 + n3, (x ∈ R )
II.18.
Khảo sát sự hội tụ đều của các dãy hàm sau trong các khoảng tương ứng:
a. f n (x) = n( √ x + 1 n − √ )
x , (x > 0) b. f n (x) = sin x , (x ∈ R)
n
c. f n (x) = arctg(nx), (x > 0) d. f n (x) = 2nx
1 + n 2 x2, (x > 0)
e. f n (x) = x n − x 2n nx
, (x ∈ [0, 1]) f. f n (x) = , (x ∈ [0, 1])
1 + n + x
Bài tập định tính
II.19.
Chứng minh rằng nếu chuỗi +∞ ∑
tụ tại mọi điểm x > x 0 .
n=1
a n
n x hội tụ tại điểm x = x 0 thì chuỗi này hội