1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.3. Chuỗi hàm 30
Thật vậy, theo ví dụ 1 của định nghĩa 2.3.1, chuỗi hàm +∞ ∑
x n hội tụ đến hàm
( ) 1
trên (−1, 1). Mặt khác, từ đẳng thức lim 1 + x x
= e, đặt x = − 1
x→0 n
(
lim 1 − 1 −n
= e,
n→+∞ n)
vậy nên lim
(1 n. − 1 ) n+1 n − 1
= lim (
n→+∞ n n→+∞
1 − 1 ) −n
= +∞,
n
(
do đó tồn tại m 0 sao cho với mọi n ≥ m 0 thì n. 1 −
n) 1 n+1
> 1.
Khi đó ∃ ε = 1, ∀ n 0 ∈ N ∗ , ∃ n = max{n 0 , m 0 } + 1 và ∃ x = 1 − 1 n để:
∑
∣ n x k −
k=1
x
∣ =
1 − x
∣ x − xn+1
1 − x − x
2.3.2 Các dấu hiệu hội tụ đều của chuỗi hàm
Định lý 2.3.3 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm +∞ ∑
k=1
n=1
ta được:
(
∣ = ∣ xn+1
∣ = n. 1 − 1 n+1
> 1.
1 − x 1 − x n)
x
1 − x
u k (x) hội tụ đều trên U ⊂ R là với mọi ε > 0
tồn tại n 0 = n 0 (ε) không phụ thuộc x sao cho với mọi n > n 0 , với mọi p ∈ N ∗ ta
có:
|u n+1 (x) + u n+2 (x) + · · · + u n+p (x)| < ε, ∀x ∈ U.
Chứng minh:
1. Điều kiện cần: Giả sử +∞ ∑
u k (x) hội tụ đều trên U đến hàm S(x).
k=1
Khi đó với mọi ε > 0, tồn tại n 0 > 0 sao cho với mọi n > n 0 ta có
∣
∑ n u k (x) − S(x) ∣ < ε 2 , ∀ x ∈ U
suy ra
k=1
∣ − n+p ∑
u k (x) + S(x) ∣ < ε 2 , ∀ x ∈ U, ∀p ∈ N ∗ .
k=1
Cộng hai vế của bất đẳng thức ta được:
∣ n+p ∑
k=n+1
2. Điều kiện đủ: Đặt S n (x) = u 1 (x) + . . . + u n (x).
u k (x) ∣ ∣ < ε, ∀ x ∈ U.