1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

1.3. Sự hội tụ của chuỗi số bất kỳ 14
1. Chuỗi +∞ ∑
a n hội tụ.
n=1
2. Dãy {b n } đơn điệu và bị chặn.
Khi đó chuỗi +∞ ∑
a n b n hội tụ.
n=1
Chứng minh: Do +∞ ∑
a n hội tụ nên nó có dãy tổng riêng A n bị chặn.
n=1
Dãy {b n } đơn điệu và bị chặn nên tồn tại lim b n = b.
n→+∞
Đặt α n = b − b n , khi đó {α n } là dãy đơn điệu và lim α n = 0.
n→+∞
Theo dấu hiệu Dirichlet chuỗi +∞ ∑
α n a n hội tụ.
n=1
Mặt khác, chuỗi +∞ ∑
ba n = b +∞ ∑
a n cũng hội tụ.
n=1
n=1
Do vậy chuỗi +∞ ∑
a n b n = +∞ ∑
a n (b − α n ) = +∞ ∑
ba n − +∞ ∑
α n a n cũng hội tụ.
n=1
n=1
Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi
+∞∑
n=1
n=1
n=1
n
n + 1 sin(π√ n 2 + 1).
Trước hết ta chứng minh chuỗi +∞ ∑
sin(π √ n 2 + 1) hội tụ.
n=1
Thật vậy : sin(π √ n 2 + 1) = (−1) n sin π( √ n 2 + 1 − n) = (−1) n . sin
π
Dễ thấy dãy a n = sin √
n2 + 1 + n
ta có +∞ ∑
sin(π √ n 2 + 1) = +∞ ∑
n=1
n=1
Mặt khác, dãy b n =
n
n + 1
Theo dấu hiệu Abel ta có chuỗi +∞ ∑
(−1) n . sin
✷
π
√
n2 + 1 + n .
đơn điệu giảm dần về 0, theo dấu hiệu Leibnitz
π
√
n2 + 1 − n
đơn điệu tăng và bị chặn bởi 1.
n=1
1.3.3 Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
hội tụ.
n
n + 1 sin(π√ n 2 + 1) hội tụ.
Định nghĩa 1.3.4
Chuỗi +∞ ∑
a n được gọi là chuỗi hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi +∞ ∑
|a n | hội tụ.
n=1
n=1