1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.1. Tích phân suy rộng loại 1 69
Do vậy nếu
tụ, tức là
+∞ ∫
a
Tương tự nếu
tụ, tức là
+∞ ∫
a
+∞ ∫
a
f(x)dx hội tụ thì từ (1) và hệ quả 3.1.8 suy ra
g(x)dx hội tụ.
+∞ ∫
a
g(x)dx hội tụ thì từ (2) và hệ quả 3.1.8 suy ra
f(x)dx hội tụ.
∫
+∞
a
+∞ ∫
a
(k − ε)g(x)dx hội
1
k + ε
.f(x)dx hội
Hệ quả 3.1.11
Giả sử f(x) là hàm xác định và không âm trong khoảng [a, +∞), khả tích trong
đoạn hữu hạn [a, A), (A > a), sao cho với x đủ lớn f(x) có dạng:
Khi đó:
f(x) = ϕ(x)
x α với α > 0.
1. Nếu α > 1, ϕ là hàm không âm và bị chặn trên thì
2. Nếu 0 < α ≤ 1, ϕ không âm và bị chặn dưới thì
+∞ ∫
a
+∞ ∫
a
f(x)dx hội tụ.
f(x)dx phân kỳ.
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của tích phân:
+∞ ∫
(x 2 − 3x + 4)e −2x dx.
0
[ (x
Rõ ràng f(x) = (x 2 − 3x + 4).e −2x 3) 2 7
]
= − + e −2x > 0, ∀ x ≥ 0.
2 4
x 2 − 3x + 4 2x − 3 2
Hơn nữa: lim
= lim = lim
x→+∞ e x x→+∞ e x x→+∞e = 0. x
Do đó ∃ b > 0 sao cho với mọi x > b thì
Khi đó ta có bất đẳng thức
Mặt khác,
+∞ ∫
0
Theo dấu hiệu so sánh ta có
(x 2 − 3x + 4)e −x < 1.
(x 2 − 3x + 4)e −2x < e −x , ∀ x > b.
∣
e −x dx = −e −x ∣∣
+∞
= 1 hội tụ.
0
+∞
∫
0
(x 2 − 3x + 4)e −2x dx hội tụ.
✷