1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.4. Chuỗi lũy thừa 44
là 1, suy ra mọi x ∈ (−1, 1) chuỗi hội tụ đến hàm S(x) và ta có
x∫
S(t)dt = +∞ ∑
x∫
(n + 1) t n dt = +∞ ∑
x n+1 =
x
0
n=0 0 n=0 1 − x .
( x
) ′ 1
Đạo hàm hai vế ta được: S(x) = =
1 − x (1 − x) 2, ∀ x ∈ (−1, 1).
Thay x = 1 5
ta có kết quả:
+∞∑
n=0
Định lý 2.4.9
Giả sử chuỗi lũy thừa +∞ ∑
Khi đó:
n=0
n + 1
= S ( 1) 1 25
=
5 n 5 (1 − 1 =
5
)2 16 .
a n x n có bán kính hội tụ R > 0 và S(x) = +∞ ∑
a n x n .
1. Chuỗi lũy thừa +∞ ∑
n.a n x n−1 cũng có bán kính hội tụ là R.
n=1
2. Tổng S(x) là hàm khả vi trong (−R, R) và ta có:
S ′ (x) = +∞ ∑
n.a n x n−1 .
Chứng minh:
n=1
1. Đặt ρ = lim n√ |a n | khi đó lim n√ n.|a n | = ρ, điều này có nghĩa là chuỗi lũy
thừa +∞ ∑
n.a n x n−1 có bán kính hội tụ là R.
n=1
2. Lấy x 0 bất kỳ thuộc (−R, R) khi đó tồn tại r > 0 sao cho x 0 ∈ (−r, r) và
[−r, r] ⊂ (R, R) theo định lý 2.4.3 chuỗi +∞ ∑
a n x n và +∞ ∑
na n x n−1 cũng hội tụ
đều trên [−r, r]. Theo định lý 2.3.11 suy ra S(x) là hàm khả vi trên (−r, r) và
S ′ (x) = +∞ ∑
na n x n−1 , ∀ x ∈ (−r, r).
n=1
Vì x 0 ∈ (−r, r) nên ta có cũng có
n=0
S ′ (x 0 ) = +∞ ∑
n=1
n=1
na n x n−1
0 .
Do x 0 bất kỳ thuộc (−R, R) nên ta có S ′ (x) = +∞ ∑
na n x n−1 , ∀ x ∈ (−R, R).
n=1
n=0
✷