1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

2.2. Các tính chất hàm giới hạn của dãy hàm 26
n∑
i=1
Ω i ∆x i < ε với Ω i = sup
x∈S i
f(x) − inf
x∈S i
f(x)
Điều này có nghĩa là f(x) khả tích trên [a, b].
2. Do f n (x) hội tụ đều đến f(x) nên ∀ ε > 0, ∃n 2 sao cho ∀n > n 2 ta có :
|f n (x) − f(x)| < ε , ∀x ∈ [a, b].
b − a
Suy ra:
∣∣∣∣
∫b
a
f n (x)dx −
∫ b
a
b
f(x)dx
∣ ≤ ∫
∫ b ∫ b
Điều này chứng tỏ rằng lim f n (x)dx = f(x)dx.
n→+∞
a
a
a
|f n (x) − f(x)|dx ≤ ε .(b − a) = ε.
b − a
Hai điều kiện trên chỉ là điều kiện cần để hàm giới hạn của dãy hàm khả tích. Thiếu
một trong hai điều kiện trên hàm hội của nó vẫn có thể khả tích.
Ví dụ 1: Xét dãy hàm như sau:
{ 0 nếu x vô tỷ
f n (x) = 1
nếu x hữu tỷ
n
rõ ràng mọi hàm f n (x) đều không khả tích trên đoạn [a, b] bất kỳ. Tuy nhiên dãy hàm
trên hội tụ đều đến hàm f(x) ≡ 0 là hàm khả tích trên [a, b]. Hiển nhiên ta không có
∫ b
∫
∫ b
đẳng thức f(x)dx = lim f n (x)dx vì không tồn tại f n (x)dx.
a
0
n→∞
b
a
Ví dụ 2: Dãy hàm f n (x) = x n không hội tụ đều trên [0, 1] đến hàm f(x) ≡ 0, tuy
nhiên f(x) là hàm khả tích trên [0, 1] và ta có
∫ 1
1
1
lim f n (x)dx = lim
n→+∞
n→+∞ n + 1 = 0 = ∫
f(x)dx.
Ví dụ 3: Dãy hàm f n (x) = nxe −nx2 trên đoạn [0, 1] có hàm giới hạn:
f(x) = lim = 0, ∀x ∈ [0, 1] nên khi đó
n→+∞ nxe−nx2
Tuy nhiên lim
n→+∞
∫ 1
0
f n (x)dx =
∫ 1
lim nxe −nx2 =
n→+∞
0
0
∫ 1
0
a
f(x)dx = 0.
lim
n→+∞
1
2 (1 − e−n ) = 1 2 ≠ 0.
✷