1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.2. Tích phân suy rộng loại 2 75
+∞ ∫
dx
+∞
Trong đó tích phân
1 2x phân kỳ, còn tích phân ∫
1
tụ theo dấu hiệu Dirichlet.
+∞ ∫
Như vậy tích phân
+∞ ∫
1
| sin x|
dx phân kỳ.
x
1
cos 2x
2x dx = 1 2
+∞ ∫
2
cos t
dt hội
t
sin 2 x
dx phân kỳ và do đó theo dấu hiệu so sánh tích phân
x
Định nghĩa 3.1.15
Giả sử hàm f(x) xác định trên khoảng [a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn
[a, A], (A ≥ a). Khi đó:
1. Nếu tích phân
tuyệt đối.
2. Nếu tích phân
rằng
+∞ ∫
a
+∞ ∫
a
+∞ ∫
a
|f(x)|dx hội tụ thì ta nói rằng tích phân
|f(x)|dx phân kỳ nhưng tích phân
f(x)dx bán hội tụ hay hội tụ có điều kiện.
Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối tích phân
Dễ thấy
+∞ ∫
0
+∞ ∫
a
cos x
1 + x 2dx.
| cos x |
1 + x ≤ 1
+∞
2 1 + x 2, ∀x ∈ [0, +∞), vì tích phân ∫
theo dấu hiệu so sánh tích phân
+∞ ∫
Vậy tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối.
0
| cos x |
dx hội tụ.
1 + x2 +∞ ∫
a
f(x)dx hội tụ
f(x)dx hội tụ thì ta nói
0
1
1 + x2dx hội tụ nên
3.2 Tích phân suy rộng loại 2
3.2.1 Định nghĩa và các tính chất
Định nghĩa 3.2.1
Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng [a, b), không bị chặn trong lân cận điểm b,
đồng thời f(x) khả tích trong mọi đoạn [a, b − α] với 0 < α < b − a.
b−α ∫
Đặt F (α) = f(x)dx.
a