1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

3.1. Tích phân suy rộng loại 1 73
Vì
+∞ ∫
a
f(x)dx hội tụ nên theo tiêu chuẩn Cauchy, với mọi ε > 0 tồn tại A 0 > a
sao cho với mọi A ′ > A > A 0 ta có ∣
∣
∣F (A ′ ) − F (ξ) ∣ ∣ =
∫A ′
∣
ξ
∫A ′
f(x)dx∣ < ε và do đó ta được:
A
2L f(x)dx∣ < ε
2L ; ∣ F (ξ) − F (A) ∣ ∫ ξ
= ∣ f(x)dx∣ < ε
2L .
Như vậy với mọi ε > 0 tồn tại A 0 > a sao cho với mọi A ′ > A > A 0 , ta có:
∫A ′
∣ f(x)g(x)dx∣ ≤ ∣ ∣F (A ′ ) − F (ξ) ∣ ∣. ∣ ∣g(A ′ ) ∣ + ∣ ∣F (ξ) − F (A) ∣ ∣. ∣ ∣g(A) ∣ A
< ε
2L .L + ε
2L
Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy, tích phân
.L = ε.
+∞ ∫
a
f(x)g(x)dx hội tụ.
A
✷
Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân
+∞ ∫
1
e −x2 sin 1 x
1 + x 2 dx.
Áp dụng dấu hiệu Abel với hàm f(x) = 1
1 + x và g(x) = sin 1 2 e−x2 x .
Ta có tích phân
+∞ ∫
1
+∞ ∫
1
f(x)dx =
f(x)dx hội tụ vì:
+∞ ∫
Mặt khác, dễ thấy hàm e −x2
1
dx
∣ ∣∣
1 + x = arctg +∞
2 1
và sin 1 x
= π 2 − π 4 = π 4 .
đơn điệu giảm và dương trên [1, +∞), do đó
hàm g(x) = e −x2 sin 1 x
đơn điệu giảm và bị chặn bởi 1 trên khoảng [1, +∞).
Vậy tích phân
+∞ ∫
1
e −x2 sin 1 x
1 + x 2 dx hội tụ theo dấu hiệu Abel.
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của tích phân
Ta có:
Đặt
Khi đó
+∞ ∫
1
f(x) =
x cos x − sin x
dx =
x(x + 1)
+∞ ∫
1
+∞ ∫
1
+∞ ∫
1
x cos x − sin x
dx.
x(x + 1)
x cos x − sin x x
.
x 2 x + 1 dx.
x cos x − sin x
và g(x) = x
x 2 x + 1 .
x cos x − sin x
+∞ ∫
dx =
x(x + 1)
1
f(x).g(x)dx.