1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

1.2. Sự hội tụ của chuỗi số dương 10
( α
) n+1
a
(n + 1)!
n+1
Ta có lim = lim
n + 1
α
(
n→+∞ a n n→+∞ α n = lim (
n→+∞
n!
1 +
n) 1 ) n
= α e .
n
Vậy nếu 0 ≤ α < e thì chuỗi hội tụ, còn nếu α > e thì chuỗi phân kỳ.
Tương tự như dấu hiệu Cauchy, khi d = 1 ta không kết luận được gì vì khi đó chuỗi có
a n+1
thể hội tụ hoặc phân kỳ. Đặc biệt nếu lim = 1 đồng thời a n+1
≥ 1, ∀ n ≥ n 0
n→+∞ a n a n
thì chuỗi +∞ ∑
a n phân kỳ vì a n+1 ≥ a n ≥ . . . ≥ a n0 tức là a n không dần về 0 khi
n → +∞.
n=1
Định lý 1.2.6 (Dấu hiệu Raabe)
Cho +∞ ∑
a n là một chuỗi số dương, giả sử tồn tại hữu hạn hay vô hạn giới hạn
n=1 (
lim R an
)
n = n. − 1 = R. Khi đó:
n→+∞ a n+1
1. Nếu R > 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
2. Nếu R < 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
3. Nếu R = 1 và R n ≤ 1, ∀n ≥ n 0 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Ví dụ:
Xét sự hội tụ của chuỗi +∞ ∑
( an
)
Ta có R n = n. − 1 = n.
a n+1
( α + n + 1
)
= n
− 1 = nα
n + 1 n + 1
n!
, (α > 0)
(α + 1) . . . (α + n)
n=1
[ n!
(α+1)...(α+n)
(n+1)!
(α+1)...(α+n)(α+n+1)
]
− 1
suy ra lim
n→+∞ R n = α.
Vậy theo dấu hiệu Raabe, nếu α ∈ (0, 1] thì chuỗi phân kỳ, còn nếu α > 1 thì chuỗi
hội tụ.
Định lý 1.2.7 (Dấu hiệu Gauss)
Cho chuỗi số dương +∞ ∑
a n , giả sử
Trong đó ε > 0,
k=1
1. Nếu λ > 1 thì chuỗi hội tụ.
a n
a n+1
= λ + µ n +
θ n là đại lượng bị chặn. Khi đó:
2. Nếu λ < 1 thì chuỗi phân kỳ.
3. Nếu λ = 1 và µ > 1thì chuỗi hội tụ.
θ n
n 1+ε