1.2 Sự hội tụ của chuỗi số dương - lib - Đại học Thăng Long

4.3. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 96
mỗi y cố định, g(x) là hàm đơn điệu và có đạo hàm liên tục trong khoảng [a, +∞).
Hơn nữa:
1. Tích phân F (A, y) =
A∫
a
y ∈ Y . Tức là tồn tại hằng số M > 0 sao cho:
2. Hàm g(x) → 0 khi x → +∞.
f(x, y)dx là hàm bị chặn đều với mọi A ≥ a và mọi
|F (A, y)| ≤ M, ∀ A ≥ a, ∀ y ∈ Y.
Khi đó tích phân
I(y) =
∫
+∞
f(x, y)g(x)dx
hội tụ đều trên Y .
a
x sin(xy)
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ đều của tích phân I(y) =
dx, y ∈ [1, +∞)
0 1 + x2 A∫
Đặt f(x, y) = sin(x, y) ta có |F (A, y)| = ∣ sin(xy)dx∣ = 1 − cos(Ay) ≤ 2.
0
y
Mặt khác hàm g(x) =
x giảm khi x > 1 và dần về 0 khi x tiến tới +∞.
1 + x2 Vậy theo tiêu chuẩn Dirichlet, tích phân I(y) hội tụ đều trên [1, +∞).
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của tích phân J(y) =
+∞ ∫
1
+∞ ∫
cos(x 2 y)dx,
y ∈ [1, +∞).
Đổi biến x = √ t ta có dx =
dt
2 √ +∞
t suy ra J(y) = ∫ cos(ty)
1 2 √ dt.
t
A∫
sin y − sin(yA)
Đặt f(t, y) = cos(ty) ta có |F (A, y)| = ∣ cos(ty)dt∣ = ∣ ∣ ≤ 2.
1
y
Hơn nữa, hàm g(t) = 1
2 √ đơn điệu giảm và dần về 0 khi t tiến tới +∞.
t
Vậy theo tiêu chuẩn Dirichlet, tích phân J(y) hội tụ đều trên [1, +∞).
Định lý 4.3.6 (Dấu hiệu Abel)
Giả sử hàm f(x, y) xác định với mọi x ≥ a, y ∈ Y , đơn điệu và liên tục theo
∂f(x, y)
x ∈ [a, +∞) với mỗi y cố định, có đạo hàm riêng liên tục theo x trong
∂x
khoảng [a, +∞). Hơn nữa: