aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
4. DO u = 1 TO v − 1:
Falls (u, v) ∈ A und DIST(u) + c((u, v)) < DIST(v),
setze DIST(v) := DIST(u) + c((u, v)) und VOR(v) := u.
END 4.
END 3.
5. Falls m ungerade: DO v = n − 1 TO 1 BY −1:
6. DO u = n TO v + 1 BY −1:
Falls (u, v) ∈ A und DIST(u) + c((u, v)) < DIST(v),
setze DIST(v) := DIST(u) + c((u, v))
und VOR(v) := u.
END 6.
END 5.
END 2.
Gehe zu 7.
D’ESOPO-PAPE-VARIANTE
2 ′ . Initialisiere eine Schlange Q und setze s in Q.
3 ′ . Hole das erste Element aus der Schlange, sagen wir u.
4 ′ . Für alle Bögen (u, v), die in u beginnen, führe aus:
5 ′ . Falls DIST(u) + c((u, v)) < DIST(v)
a) setze DIST(v) := DIST(u) + c((u, v)) und VOR(v) := u,
b) Falls v noch nicht in Q war, setze v an das Ende von Q,
c) Falls v schon in Q war, aber gegenwärtig nicht in Q ist, setze v an den Anfang
von Q.
END 4 ′ .
6 ′ . Ist die Schlange nicht leer, gehe zu 3 ′ , andernfalls zu 7.
7. Falls DIST(v) < +∞, so enthält DIST(v) die Länge eines kürzesten (s, v)-Weges,
und aus VOR(v) kann wie üblich ein kürzester (s, v)-Weg rekonstruiert werden. Ist
DIST(v) = +∞, so gibt es in D keinen (s, v)-Weg. △
Es ist intuitiv einsichtig, dass das MOORE-BELLMAN-Verfahren ein korrektes Ergebnis
liefert, falls keine negativen Kreise vorliegen. Ebenso leuchtet ein, dass die D’ESOPO-
PAPE-Variante eine Spezialisierung dieses Verfahrens ist mit einer konkreten Angabe der
Bearbeitungsreihenfolge. Wir wollen nun noch die Korrektheit der YEN-Variante vorführen.
(5.23) Satz. Die YEN-Variante des MOORE-BELLMAN-Verfahrens arbeitet korrekt,
falls D keinen negativen gerichteten Kreis enthält. △
Beweis. Wir geben dem Vektor DIST eine Interpretation, aus der die Korrektheit einfach
folgt. Wir haben in (5.22) angenommen, dass s = 1 gilt und die Knoten mit
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