aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

4 Komplexitätstheorie und Speicherung von Graphen
aus Π ′ und wendet den Algorithmus für Π ′ an. Da sowohl der Transformationsalgorithmus
als auch der Lösungsalgorithmus polynomial sind, hat auch die Kombination beider
Algorithmen eine polynomiale Laufzeit.
Nun kommen wir zu einem der wichtigsten Begriffe dieser Theorie, der spezifiziert,
welches die schwierigsten Probleme in der Klasse N P sind.
(4.5) Definition. Ein Entscheidungsproblem Π heißt N P-vollständig, falls Π ∈ N P
und falls jedes andere Problem aus N P polynomial in Π transformiert werden kann. △
Jedes N P-vollständige Entscheidungsproblem Π hat also die folgende Eigenschaft.
Falls Π in polynomialer Zeit gelöst werden kann, dann kann auch jedes andere Problem
aus N P in polynomialer Zeit gelöst werden; in Formeln:
Π N P-vollständig und Π ∈ P =⇒ P = N P.
Diese Eigenschaft zeigt, dass – bezüglich polynomialer Lösbarkeit – kein Problem in
N P schwieriger ist als ein N P-vollständiges. Natürlich stellt sich sofort die Frage, ob es
überhaupt N P-vollständige Probleme gibt. Dies hat Cook (1971) in einer für die Komplextiätstheorie
fundamentalen Arbeit bewiesen. In der Tat sind (leider) fast alle praxisrelevanten
Probleme N P-vollständig. Ein Beispiel: Das hamiltonsche Graphenproblem
„Enthält G einen hamiltonschen Kreis?“ ist N P-vollständig.
Wir wollen nun Optimierungsprobleme in unsere Betrachtungen einbeziehen. Aus jedem
Optimierungsproblem kann man wie folgt ein Entscheidungsproblem machen. Ist
Π ein Maximierungsproblem (Minimierungsproblem), so legt man zusätzlich zu jedem
Problembeispiel I noch eine Schranke, sagen wir B, fest und fragt:
Gibt es für I eine Lösung, deren Wert nicht kleiner (nicht größer) als B ist?
Aus dem Travelling-Salesman-Problem wird auf diese Weise ein Entscheidungsproblem,
man fragt einfach: „Enthält das Problembeispiel eine Rundreise, deren Länge nicht größer
als B ist?“.
Wir nennen ein Optimierungsproblem N P-schwer, wenn das (wie oben angegebene)
zugeordnete Entscheidungsproblem N P-vollständig ist. Diese Bezeichnung beinhaltet die
Aussage, dass alle N P-schweren Optimierungsprobleme mindestens so schwierig sind wie
die N P-vollständigen Probleme. Könnten wir nämlich ein N P-schweres Problem (wie das
Travelling-Salesman-Problem) in polynomialer Zeit lösen, dann könnten wir auch das
zugehörige Entscheidungsproblem in polynomialer Zeit lösen. Wir berechnen den Wert
w einer Optimallösung und vergleichen ihn mit B. Ist bei einem Maximerungsproblem
(Minimierungsproblem) w ≥ B (w ≤ B), so antworten wir „ja“, andernfalls „nein“.
Häufig kann man Entscheidungsprobleme dazu benutzen, um Optimierungsprobleme
zu lösen. Betrachten wir als Beispiel das TSP-Entscheidungsproblem und nehmen wir
an, dass alle Problembeispiele durch ganzzahlige Entfernungen zwischen den Städten gegeben
sind. Ist s die kleinste vorkommende Zahl, so ziehen wir von allen Entfernungen
den Wert s ab. Damit hat dann die kürzeste Entfernung den Wert 0. Ist nun t die längste
aller (so modifizierten) Entfernungen, so ist offensichtlich, dass jede Tour eine nichtnegative
Länge hat und, da jede Tour n Kanten enthält, ist keine Tourlänge größer als n · t.
66