aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
Um lästige Trivialbemerkungen zu vermeiden, nehmen wir im Weiteren an, dass die
Indizes so geordnet sind, dass für die Gewichtsdichten ρ1 ≥ ρ2 ≥ . . . ≥ ρn und dass
aj ≤ b gilt für j = 1, . . . , n. Leider gilt die schöne Schranke aus (5.39) nicht für das
0/1-Rucksack-Problem.
(5.40) Bemerkung. Gegeben sei ein 0/1-Rucksack-Problem. Dann gilt:
(a) Für k = 0, 1, . . . , n − 1 gilt
copt ≤
k
j=1
cj + ck+1
· b −
ak+1
(b) cGgreedy > copt − max{cj | j = 1, . . . , n}. △
Beweis. (a) Sei x ∗ 1 , . . . , x∗ n eine optimale Lösung des 0/1-Rucksack-Problems und k ∈
{0, 1, . . . , n − 1}. Dann gilt:
n
k
n
k
j=1
copt = cjx
j=1
∗ j ≤ cjx
j=1
∗ ajck+1
j +
x
ak+1
j=k+1
∗ j
= ck+1
ak+1
n
j=1
≤ ck+1
b +
ak+1
=
k
j=1
ajx ∗ j +
k
j=1
k
j=1
cj + ck+1
b −
ak+1
aj
cj − ck+1
aj
ak+1
k
j=1
.
cj − ck+1
aj
ak+1
(b) Ist n j=1 aj ≤ b, so liefert der Greedy-Algorithmus offenbar die optimale Lösung und
die Behauptung ist korrekt. Sei also k ≤ n der größte Index, so dass k j=1 aj ≤ b.
Dann gilt
k
0 ≤ b − aj < ak+1,
und aus (a) folgt
copt ≤
k
j=1
j=1
aj
.
cj + ck+1
ak+1 ≤ cGgreedy + ck+1,
ak+1
woraus (b) folgt. ✷
(5.41) Bemerkung.
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x ∗ j