aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.2 Basisaustausch (Pivoting), Simplexkriterium
9.2 Basisaustausch (Pivoting), Simplexkriterium
Da jede zulässige Basis der Matrix A eine Ecke von P = (A, b) definiert, kann man ein
lineares Programm der Form (9.1) dadurch lösen, dass man alle Basen von A bestimmt
— dies sind endlich viele —, den Zielfunktionswert der zugehörigen Basislösung errechnet
und die beste Lösung auswählt. Da eine (m, n)-Matrix bis zu n
m zulässige Basen haben
kann, ist dieses Verfahren aufgrund des gewaltigen Rechenaufwandes (in jedem Schritt
Bestimmung einer inversen Matrix) so gut wie undurchführbar.
Man sollte also versuchen, z. B. ein Verfahren so zu entwerfen, dass man von einer
zulässigen Basislösung ausgehend eine neue Basislösung bestimmt, die zulässig ist und
einen besseren Zielfunktionswert hat. Ferner muss das Verfahren so angelegt sein, dass
der Übergang von einer Basis zur nächsten nicht allzuviel Rechenaufwand erfordert.
Im Prinzip kann man damit nicht gewährleisten, dass nicht alle Basen enumeriert werden,
aber aufgrund heuristischer Überlegungen scheint ein solcher Ansatz, wenn er realisiert
werden kann, besser als das obige Enumerationsverfahren funktionieren zu können.
Im weiteren werden wir zeigen, wie man einen Basisaustausch, der von einer zulässigen
Basislösung zu einer besseren zulässigen Basislösung mit relativ wenig Rechenaufwand
führt, durchführen kann.
(9.11) Satz. Gegeben sei ein Gleichungssystem Ay = b mit rang(A) = m, und AB sei
eine Basis von A. Dann gilt
x erfüllt Ay = b ⇐⇒ x erfüllt xB = A −1
B b − A−1
B ANxN. △
Beweis. O. B. d. A. sei B = (1, . . . , m), d h. A = (AB, AN), x = xB , dann gilt
xN
Ax = b ⇐⇒ (AB, AN)
xB
xN
= b ⇐⇒ A −1
B (AB, AN)
⇐⇒ (I, A −1
B AN)
xB
xB
xN
xN
= A −1
B b
= A −1
B b
⇐⇒ xB + A −1
B ANxN = A −1
B b
⇐⇒ xB = A −1
B b − A−1
B ANxN
Die obige Beziehung ist simpel, von rechentechnischer Bedeutung ist jedoch die Tatsache,
dass wir die Basisvariablen xj, j ∈ B, in Abhängigkeit von den Nichtbasisvariablen
darstellen können.
Wir wollen uns nun überlegen, wie wir den Übergang von einer Ecke zu einer anderen
Ecke vollziehen können, d. h. wie wir aus einer Basis eine andere Basis ohne viel Aufwand
konstruieren können. Um dies rechentechnisch exakt vorführen zu können, müssen wir
die Indexmengen B, N wie in (9.3)(b) angegeben als Vektoren auffassen.
(9.12) Satz (Basisaustausch, Pivotoperation). Gegeben sei ein Gleichungssystem
Ay = b mit rang(A) = m. B = (p1, . . . , pm) und N = (q1, . . . , qn−m) seien Spaltenindexvektoren
von A wie in (9.3)(b) festgelegt, so dass AB eine Basis von A ist. Wir
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