aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7 Flüsse mit minimalen Kosten
schreiben.
min
w(a)x(a)
x(δ − (v)) − x(δ + (v)) =
⎧
⎪⎨ 0 falls v ∈ Vu
b(v) falls v ∈ Vn
⎪⎩
−a(v) falls v ∈ Va
(7.11)
0 ≤ x(a) ≤ c(a) ∀a ∈ A.
Problem (7.10) ist offensichtlich höchstens dann lösbar, wenn
b(v) = v∈Vn v∈Va a(v)
gilt. Das lineare Programm (7.11) kann in ein Minimalkosten-Flussproblem (7.1) wie
folgt transformiert werden. Wir führen eine (künstliche) Quelle s und eine künstliche
Senke t ein. Die Quelle s verbinden wir mit jedem Knoten v ∈ Va durch einen Bogen
(s, v) mit Kosten Null und Kapazität a(v). Jeden Knoten v ∈ Vn verbinden wir mit der
Senke t durch einen Bogen (v, t) mit Kosten null und Kapazität b(v). Offenbar liefert
der kostenminimale (s, t)-Fluss in diesem neuen Digraphen mit Wert
b(v) eine
v∈Vn
optimale Lösung des Umladeproblems.
(7.12) Transportprobleme. Ein Transshipment-Problem, bei dem Vu = ∅ gilt, heißt
Transportproblem. Hier wird also von Erzeugern direkt zu den Kunden geliefert, ohne
den Zwischenhandel einzuschalten. △
(7.13) Zuordnungsproblem. Ein Transportproblem, bei dem |Va| = |Vn|, b(v) = 1 für
alle v ∈ Vn und a(v) = 1 ∀ v ∈ Va gilt, heißt Zuordnungsproblem (vergleiche (3.9)). △
Zur Lösung von Zuordnungs- und Transportproblemen gibt es besonders schnelle Algorithmen,
die erheblich effizienter als die Algorithmen zur Bestimmung kostenminimaler
Flüsse sind. Näheres hierzu wird in den Übungen behandelt. Aber auch in diesem Bereich
kann man nicht — wie bei Algorithmen zur Bestimmung von Flüssen mit Minimalkosten
– davon sprechen, dass irgendein Verfahren das schnellste (in der Praxis) ist. Immer
wieder gibt es neue Implementationstechniken, die bislang unterlegene Algorithmen erheblich
beschleunigen und anderen Verfahren überlegen erscheinen lassen. Siehe hierzu
(Ahuja et al., 1993).
Wir behandeln hier das Zuordnungsproblem (englisch: assignment problem) stiefmütterlich
als Spezialfall des Minimalkosten-Flussproblems. Seine Bedeutung für die Entwicklung
der Algorithmen zur Lösung kombinatorischer Optimierungsprobleme ist jedoch erheblich.
Im Jahr 1955 veröffentlichte Harold Kuhn (Kuhn, 1955) einen Algorithmus, den
er, um die Bedeutung von Ideen zweier ungarischer Mathematiker (D. König und J. Egerváry)
hervorzuheben, „ungarische Methode“ nannte. Dieser Algorithmus ist ein Vorläufer
der heute so genannten „Primal-Dual-Verfahren“ und erwies sich (nach einer Modifikation
von Munkres) als polynomialer Algorithmus zur Lösung von Zuordnungsproblemen.
Der ungarische Algorithmus war Vorbild für viele andere Methoden zur Lösung kombinatorischer
Optimierungsprobleme, und er wurde so oft zitiert, dass der Aufsatz (Kuhn,
1955) von der Zeitschrift Naval Logistics Quarterly im Jahre 2004 als wichtigstes Paper
gewählt wurde, das seit Bestehen der Zeitschrift in dieser erschienen ist.
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