23.06.2013 Aufrufe

aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

MEHR ANZEIGEN
WENIGER ANZEIGEN

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.

2 Grundlagen und Notation<br />

und meinen damit die lineare, konische, affine bzw. konvexe Hülle der Spaltenvektoren<br />

A·1, A·2, . . . , A·n von A. Eine Teilmenge S ⊆ K n heißt<br />

⎧<br />

⎪⎨<br />

⎪⎩<br />

linearer Raum<br />

Kegel<br />

affiner Raum<br />

konvexe Menge<br />

⎫<br />

⎪⎬<br />

⎪⎭<br />

falls<br />

⎧<br />

⎪⎨<br />

⎪⎩<br />

S = lin(S)<br />

S = cone(S)<br />

S = aff(S)<br />

S = conv(S)<br />

Die hier benutzten Begriffe sind üblicher Standard, wobei für „linearen Raum“ in der<br />

lineraren Algebra in der Regel Vektorraum oder Untervektorraum benutzt wird. Der Begriff<br />

Kegel wird jedoch – u. a. in verschiedenen Zweigen der Geometrie – allgemeiner<br />

verwendet. „Unser Kegel“ ist in der Geometrie ein „abgeschlossener konvexer Kegel“.<br />

Eine nichtleere endliche Teilmenge S ⊆ K n heißt linear (bzw. affin) unabhängig, falls<br />

kein Element von S als echte Linearkombination (bzw. Affinkombination) von Elementen<br />

von S dargestellt werden kann. Die leere Menge ist affin, jedoch nicht linear unabhängig.<br />

Jede Menge S ⊆ K n , die nicht linear bzw. affin unabhängig ist, heißt linear bzw. affin<br />

abhängig. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass eine linear (bzw. affin) unabhängige<br />

Teilmenge <strong>des</strong> K n höchstens n (bzw. n+1) Elemente enthält. Für eine Teilmenge S ⊆ K n<br />

heißt die Kardinalität einer größten linear (bzw. affin) unabhängigen Teilmenge von S<br />

der Rang (bzw. affine Rang) von S. Wir schreiben dafür rang(S) bzw. arang(S). Die<br />

Dimension einer Teilmenge S ⊆ K n , Bezeichnung: dim(S), ist die Kardinalität einer<br />

größten affin unabhängigen Teilmenge von S minus 1, d. h. dim(S) = arang(S) − 1.<br />

Der Rang einer Matrix A, bezeichnet mit rang(A), ist der Rang ihrer Spaltenvektoren.<br />

Aus der linearen Algebra wissen wir, dass rang(A) mit dem Rang der Zeilenvektoren von<br />

A übereinstimmt. Gilt für eine (m, n)-Matrix A, rang(A) = min{m, n}, so sagen wir, dass<br />

A vollen Rang hat. Eine (n, n)-Matrix mit vollem Rang ist regulär, d. h. sie besitzt eine<br />

(eindeutig bestimmte) inverse Matrix (geschrieben A −1 ) mit der Eigenschaft AA −1 = I.<br />

2.3 Polyeder und lineare Programme<br />

Ein wichtiger Aspekt der Vorlesung ist die Behandlung von Problemen der linearen Programmierung<br />

bzw. die Modellierung von kombinatorischen Optimierungsproblemen als<br />

(ganzzahlige) lineare Programme. In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende<br />

Begriffe der zugehörigen Theorie bereit, stellen dar, in welchen Formen lineare Programme<br />

vorkommen, und wie man sie ineinander transformiert. Schließlich beweisen wir als<br />

Einführung den schwachen Dualitätssatz.<br />

(2.1) Definition.<br />

a) Eine Teilmenge G ⊆ K n heißt Hyperebene, falls es einen Vektor a ∈ K n \ {0} und<br />

α ∈ K gibt mit<br />

26<br />

Der Vektor a heißt Normalenvektor zu G.<br />

G = {x ∈ K n | a T x = α}.<br />

⎫<br />

⎪⎬<br />

.<br />

⎪⎭

Hurra! Ihre Datei wurde hochgeladen und ist bereit für die Veröffentlichung.

Erfolgreich gespeichert!

Leider ist etwas schief gelaufen!