aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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2 Grundlagen und Notation<br />
und meinen damit die lineare, konische, affine bzw. konvexe Hülle der Spaltenvektoren<br />
A·1, A·2, . . . , A·n von A. Eine Teilmenge S ⊆ K n heißt<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
linearer Raum<br />
Kegel<br />
affiner Raum<br />
konvexe Menge<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
falls<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
S = lin(S)<br />
S = cone(S)<br />
S = aff(S)<br />
S = conv(S)<br />
Die hier benutzten Begriffe sind üblicher Standard, wobei für „linearen Raum“ in der<br />
lineraren Algebra in der Regel Vektorraum oder Untervektorraum benutzt wird. Der Begriff<br />
Kegel wird jedoch – u. a. in verschiedenen Zweigen der Geometrie – allgemeiner<br />
verwendet. „Unser Kegel“ ist in der Geometrie ein „abgeschlossener konvexer Kegel“.<br />
Eine nichtleere endliche Teilmenge S ⊆ K n heißt linear (bzw. affin) unabhängig, falls<br />
kein Element von S als echte Linearkombination (bzw. Affinkombination) von Elementen<br />
von S dargestellt werden kann. Die leere Menge ist affin, jedoch nicht linear unabhängig.<br />
Jede Menge S ⊆ K n , die nicht linear bzw. affin unabhängig ist, heißt linear bzw. affin<br />
abhängig. Aus der linearen Algebra wissen wir, dass eine linear (bzw. affin) unabhängige<br />
Teilmenge <strong>des</strong> K n höchstens n (bzw. n+1) Elemente enthält. Für eine Teilmenge S ⊆ K n<br />
heißt die Kardinalität einer größten linear (bzw. affin) unabhängigen Teilmenge von S<br />
der Rang (bzw. affine Rang) von S. Wir schreiben dafür rang(S) bzw. arang(S). Die<br />
Dimension einer Teilmenge S ⊆ K n , Bezeichnung: dim(S), ist die Kardinalität einer<br />
größten affin unabhängigen Teilmenge von S minus 1, d. h. dim(S) = arang(S) − 1.<br />
Der Rang einer Matrix A, bezeichnet mit rang(A), ist der Rang ihrer Spaltenvektoren.<br />
Aus der linearen Algebra wissen wir, dass rang(A) mit dem Rang der Zeilenvektoren von<br />
A übereinstimmt. Gilt für eine (m, n)-Matrix A, rang(A) = min{m, n}, so sagen wir, dass<br />
A vollen Rang hat. Eine (n, n)-Matrix mit vollem Rang ist regulär, d. h. sie besitzt eine<br />
(eindeutig bestimmte) inverse Matrix (geschrieben A −1 ) mit der Eigenschaft AA −1 = I.<br />
2.3 Polyeder und lineare Programme<br />
Ein wichtiger Aspekt der Vorlesung ist die Behandlung von Problemen der linearen Programmierung<br />
bzw. die Modellierung von kombinatorischen Optimierungsproblemen als<br />
(ganzzahlige) lineare Programme. In diesem Abschnitt stellen wir einige grundlegende<br />
Begriffe der zugehörigen Theorie bereit, stellen dar, in welchen Formen lineare Programme<br />
vorkommen, und wie man sie ineinander transformiert. Schließlich beweisen wir als<br />
Einführung den schwachen Dualitätssatz.<br />
(2.1) Definition.<br />
a) Eine Teilmenge G ⊆ K n heißt Hyperebene, falls es einen Vektor a ∈ K n \ {0} und<br />
α ∈ K gibt mit<br />
26<br />
Der Vektor a heißt Normalenvektor zu G.<br />
G = {x ∈ K n | a T x = α}.<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
.<br />
⎪⎭