aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9 Die Grundversion des
Simplex-Algorithmus
In Satz (8.5) haben wir gezeigt, dass die Menge der Optimallösungen eines linearen
Programms eine Seitenfläche des durch die Restriktionen definierten Polyeders ist. Dieses
Ergebnis haben wir in Folgerung (8.14) dahingehend verschärft, dass wir nachweisen
konnten, dass bei spitzen Polyedern das Optimum, falls es existiert, stets in einer Ecke
angenommen wird. Wollen wir also ein Verfahren entwerfen, das lineare Programme über
spitzen Polyedern löst, so genügt es, ein Verfahren anzugeben, dass eine optimale Ecke
derartiger Polyeder findet.
Aus Abschnitt 2.3 wissen wir, dass wir uns auf lineare Programme über Polyedern der
Form P = (A, b) = {x ∈ R n | Ax = b, x ≥ 0} beschränken können. In Folgerung (8.12)
haben wir gezeigt, dass ein solches Polyeder stets spitz ist, falls es nicht leer ist. Wenn
wir also einen Algorithmus angeben können, der die optimale Ecke eines linearen Programms
der Form max c T x, x ∈ P = (A, b) findet, so können wir mit diesem alle linearen
Programmierungsprobleme lösen.
(9.1) Definition. Ein lineares Programm der Form
max c T x
Ax = b
x ≥ 0
heißt ein lineares Programm in Standardform. Wenn nichts anderes gesagt wird, nehmen
wir immer an, dass A ∈ K (m,n) , b ∈ K m , und c ∈ K n gilt. △
Ist der Rang von A gleich n, so wissen wir, dass das Gleichungssystem Ax = b entweder
gar keine oder eine eindeutig bestimmte Lösung hat, die mit dem Gauß’schen Eliminationsverfahren
berechnet werden kann. Da also entweder keine Lösung existiert oder der
einzige zulässige Punkt leicht bestimmt werden kann, liegt kein wirkliches Optimierungsproblem
vor. Wir wollen daher voraussetzen, dass rang(A) < n gilt. Ferner nehmen wir
an, um die Darstellung einfacher zu machen, dass die Zeilen von A linear unabhängig
sind und dass P = (A, b) = ∅ ist. Wir treffen also folgende Verabredung:
(9.2) Generalvorausssetzungen für Kapitel 9.
(a) A ist eine (m, n)-Matrix mit m < n,
(b) rang(A) = m,
(c) P = (A, b) = ∅. △
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