aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

3 Diskrete Optimierungsprobleme
Dieses Kapitel enthält eine Liste von algorithmischen Fragestellungen der Graphentheorie.
Wir werden — neben historisch interessanten Aufgaben — insbesondere Optimierungsprobleme
aufführen, die ein weites Anwendungsspektrum besitzen.
3.1 Kombinatorische Optimierungsprobleme
Bevor wir auf graphentheoretische Optimierungsprobleme eingehen, führen wir kombinatorische
Optimierungsprobleme in allgemeiner Form ein.
(3.1) Definition (Allgemeines kombinatorisches Optimierungsproblem). Gegeben
seien eine endliche Menge I und eine Funktion f : I → R, die jedem Element von
I einen “Wert” zuordnet. Gesucht ist ein Element I ∗ ∈ I, so daß f(I ∗ ) so groß (oder
klein) wie möglich ist. △
Eine Problemformulierung dieser Art ist relativ sinnlos, da über ein Problem, das wie
oben gegeben ist, kaum vernünftige mathematische Aussagen gemacht werden können.
Algorithmisch ist (3.1) auf triviale Weise lösbar: man durchlaufe alle Elemente I von I,
werte die Funktion f(I) aus und wähle das Element I ∗ mit dem größten (oder kleinsten)
Wert f(I ∗ ) aus. Falls die Elemente I ∈ I algorithmisch bestimmbar und f(I) auswertbar
ist, hat der eben beschriebene Enumerationsalgorithmus eine sogenannte lineare Laufzeit,
da jedes Element von I nur einmal betrachtet wird.
Die üblicherweise auftretenden kombinatorischen Optimierungsprobleme sind jedoch
auf andere, wesentlich strukturiertere Weise gegeben. Die Menge I ist nicht durch explizite
Angabe aller Elemente spezifiziert sondern implizit durch die Angabe von Eigenschaften,
die die Elemente von I haben sollen. Ebenso ist die Funktion f nicht punktweise
sondern durch “Formeln” definiert.
In dieser Vorlesung wollen wir uns hauptsächlich auf den folgenden Problemtyp konzentrieren.
(3.2) Definition (Komb. Optimierungsproblem mit linearer Zielfunktion).
Gegeben seien eine endliche Menge E (genannt Grundmenge), eine Teilmenge I der
Potenzmenge 2E von E (die Elemente von I heißen zulässige Mengen oder zulässige
Lösungen) und eine Funktion c : E → R. Für jede Menge F ⊆ E definieren wir ihren
“Wert” durch
c(F ) :=
c(e),
und wir suchen eine Menge I ∗ ∈ I, so dass c(I ∗ ) so groß (oder klein) wie möglich ist.△
e∈F
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