aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

3.3 Graphentheoretische Optimierungsprobleme: Beispiele
Das Problem des kürzesten Weges gibt es auch in einer ungerichteten Version. Hier
sucht man in einem Graphen G = (V, E) mit Entfernungen ce ≥ 0 für alle e ∈ E bei
gegebenen Knoten u, v ∈ V , = v, einen kürzesten [u, v]-Weg. Analog kann man nach
einem kürzesten Weg gerader oder ungerader Länge fragen.
Natürlich kann man in allen bisher angesprochenen Problemen, das Wort “kürzester”
durch “längster” ersetzen und erhält dadurch Probleme der längsten Wege verschiedener
Arten. Hätten wir beim Problem des kürzesten Weges nicht die Beschränkung cij ≥ 0 für
die Zielfunktionskoeffizienten, wären die beiden Problemtypen offensichtlich äquivalent.
Aber so sind sie es nicht! Ein Spezialfall (Zielfunktion ce = 1 für alle e ∈ E) des Problems
des längsten Weges ist das Problem zu entscheiden, ob ein Graph einen hamiltonschen
Weg von u nach v enthält. △
Anwendungen dieses Problems und seiner Varianten sind offensichtlich. Alle Routenplaner,
die im Internet zur Fahrstreckenplanung angeboten werden oder zur Unterstützung
von Autofahrern in Navigationssysteme eingebaut sind, basieren auf Algorithmen zur
Bestimmung kürzester Wege. Die Route jeder im Internet verschickten Nachricht wird
ebenfalls durch (mehrfachen) Aufruf eines Kürzeste-Wege-Algorithmus ermittelt. Eine
Anwendung aus der Wirtschafts- und Sozialgeographie, die nicht unbedingt im Gesichtsfeld
von Mathematikern liegt, sei hier kurz erwähnt. Bei Fragen der Raumordnung und
Landesplanung werden sehr umfangreiche Erreichbarkeitsanalysen angestellt, um Einzugsbereiche
(bzgl. Straßen-, Nahverkehrs- und Bahnanbindung) festzustellen. Auf diese
Weise werden Mittel- und Oberzentren des ländlichen Raumes ermittelt und Versorgungsgrade
der Bevölkerung in Bezug auf Ärzte, Krankenhäuser, Schulen etc. bestimmt.
Ebenso erfolgen Untersuchungen bezüglich des Arbeitsplatzangebots. Alle diese Analysen
basieren auf einer genauen Ermittlung der Straßen-, Bus- und Bahnentfernungen (in
Kilometern oder Zeiteinheiten) und Algorithmen zur Bestimmung kürzester Wege in den
“Verbindungsnetzwerken”.
(3.9) Das Zuordnungsproblem (assignment problem). Gegeben sei ein bipartiter
Graph G = (V, E) mit Kantengewichten ce ∈ R für alle e ∈ E, gesucht ist ein Matching
in G maximalen Gewichts. Man nennt dieses Problem das Matchingproblem in bipartiten
Graphen oder kurz bipartites Matchingproblem. Haben die beiden Knotenmengen in der
Bipartition von V gleiche Kardinalität und sucht man ein perfektes Matching minimalen
Gewichts, so spricht man von einem Zuordnungsproblem. Es gibt noch eine weitere
Formulierung des Zuordnungsproblems. Gegeben sei ein Digraph D = (V, A), der auch
Schlingen haben darf, mit Bogengewichten (meistens wird unterstellt, dass D vollständig
ist und Schlingen hat), gesucht ist eine Bogenmenge minimalen Gewichts, so dass jeder
Knoten von D genau einmal Anfangs- und genau einmal Endknoten eines Bogens aus B
ist. (B ist also eine Menge knotendisjunkter gerichteter Kreise, so dass jeder Knoten auf
genau einem Kreis liegt. Eine Schlinge wird hierbei als ein gerichteter Kreis aufgefasst.)
Wir wollen dieses Problem gerichtetes Zuordnungsproblem nennen. △
Das Zuordnungsproblem hat folgende “Anwendung”. Gegeben seien n Männer und n
Frauen, für 1 ≤ i, j ≤ n sei cij ein “Antipathiekoeffizient”. Gesucht ist eine Zuordnung
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