aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

(c) Ist F = {x ∈ P | c T x = γ} eine nichttriviale Seitenfläche von P , dann gilt c = 0. △
Beweis. (a) P = {x ∈ P | 0 T x = 0}.
(b) ∅ = {x ∈ P | 0 T x = 1}.
(c) {x | 0 T x = α} ist entweder leer (α = 0) oder K n (α = 0). Falls F nichttrivial ist,
muss also c = 0 gelten. ✷
(8.5) Satz. Seien P = P (A, b) = ∅ ein Polyeder, c ∈ K n , γ ∈ K und
z ∗ =
+∞ falls c T x auf P unbeschränkt,
max{c T x | x ∈ P } andernfalls.
(a) c T x ≤ γ ist gültig bezüglich P ⇐⇒ γ ≥ z ∗ .
(b) z ∗ < +∞ ⇒ F = {x ∈ P | c T x = z ∗ } ist eine nichtleere Seitenfläche von P , und
{x | c T x = z ∗ } ist eine Stützhyperebene von P , falls c = 0.
(c) Die Menge der Optimallösungen eines linearen Programms ist eine Seitenfläche des
durch die Nebenbedingungen definierten Polyeders. △
Beweis. (a) Ist γ < z ∗ , dann existiert ein x ∗ ∈ P mit c T x ∗ > γ, also ist c T x ≤ γ nicht
gültig. Ist γ ≥ z ∗ , so gilt c T x ≤ z ∗ ≤ γ ∀ x ∈ P , also ist c T x ≤ γ gültig.
(b) Nach (a) ist c T x ≤ z ∗ gültig bezüglich P und nach Definition existiert ein x ∗ ∈ P mit
c T x ∗ = z ∗ , also ist F eine nichtleere Seitenfläche von P . Offenbar ist {x | c T x = z ∗ }
eine Stützhyperebene, falls c = 0.
(c) folgt aus (b). ✷
(8.6) Definition. Sei P = P (A, b) ⊆ K n ein Polyeder und M die Zeilenindexmenge
von A. Für F ⊆ P sei
eq(F ) := {i ∈ M | Ai·x = bi ∀x ∈ F },
d. h. eq(F ) (genannt Gleichheitsmenge oder equality set von F ) ist die Menge der für
alle x ∈ F bindenden Restriktionen. Für I ⊆ M sei
fa(I) := {x ∈ P | AI·x = bI}.
Wir nennen fa(I) die von I induzierte Seitenfläche. △
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