aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5.5 Exkurs: Greedy-Heuristiken für das Rucksackproblem und deren Analyse
Beweis. (a) Allgemeines Rucksack-Problem. Wir betrachten das folgende Beispiel mit
α ∈ Z, α ≥ 2:
max αx1 + (α − 1)x2
αx1 + x2 ≤ α
x1, x2 ∈ Z+
Offenbar gilt cgreedy = α und der Wert der Optimallösung ist copt = α(α − 1). Aus
der Forderung cgreedy ≥ ɛcopt folgt dann ɛ ≤ 1/(α − 1); da wir α beliebig wählen
können, kann es kein festes ɛ > 0 mit cgreedy ≥ ɛcopt geben.
(b) 0/1-Rucksack-Problem. Wir betrachten für n ∈ Z, n ≥ 2:
max nx1 + (n − 1)x2 + · · · + (n − 1)xn
nx1 + x2 + · · · + xn ≤ n
xj ∈ {0, 1}.
Trivialerweise gilt cgreedy = n und copt = n(n − 1), und wir können mit demselben
Argument wie oben sehen, dass der Zielfunktionsgreedy nicht ɛ-approximativ ist. ✷
(5.39) Satz. Der Gewichtsdichten-Greedyalgorithmus ist für das allgemeine Rucksackproblem
ein 1/2-approximativer Algorithmus. △
Beweis. O. B. d. A. können wir annehmen, dass ρ1 ≥ ρ2 ≥ . . . ≥ ρn und a1 ≤ b gilt.
Es gilt offensichtlich für den Zielfunktionswert cGgreedy des Gewichtsdichten-Greedyalgorithmus
cGgreedy ≥ c1x1 = c1⌊b/a1⌋,
und ebenso
und somit
copt ≤ c1b/a1 ≤ c1(⌊b/a1⌋ + 1) ≤ 2c1⌊b/a1⌋ ≤ 2cGgreedy
cGgreedy ≥ 1
2 copt.
Wir zeigen nun, dass diese Schranke tatsächlich asymptotisch angenommen wird. Dazu
betrachten wir das folgende Rucksackproblem:
max 2αx1 + 2(α − 1)x2
αx1 + (α − 1)x2 ≤ 2(α − 1)
x1, x2 ∈ Z+
Offensichtlich gilt ρ1 ≥ ρ2, cGgreedy = 2α, copt = 4(α − 1) und somit
cGgreedy
copt
=
2α 1
→
4(α − 1) 2 .
✷
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