aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.5 Die Phase I
(9.37) Bemerkung (Worst-Case Verhalten des Simplexverfahrens). Zu fast allen
bekannten Pivotauswahlregeln (speziell zu allen, die hier genannt wurden) kennt man
heute eine Klasse von Polyedern und Zielfunktionen, so dass der Simplexalgorithmus bei
Anwendung einer zugehörigen Auswahlregel durch alle Ecken des Polyeders läuft. Da die
Anzahl der Ecken dieser Polyeder exponentiell mit der Anzahl der Variablen wächst, sagt
man, dass das Simplexverfahren ein exponentielles worst-case Verhalten besitzt. △
9.5 Die Phase I
Zur vollständigen Beschreibung der Grundversion der Simplexmethode fehlt noch eine
Darstellung der Phase I von (9.17). Diese wollen wir nun nachholen. Ist das Ungleichungssystem
Ax = b, x ≥ 0 gegeben, so können wir stets o. B. d. A. b ≥ 0 annehmen, denn
Multiplikation einer Gleichung mit −1 verändert das Polyeder nicht.
(9.38) Phase I des Simplexverfahrens.
Eingabe: A ∈ K (m,n) , b ∈ K m mit b ≥ 0.
Ausgabe:
(a) P = (A, b) = ∅ oder
(b) P = (A, b) = {x} oder
(c) Ausgabe von I ⊆ {1, . . . , m} und B = (p1, . . . , pk) mit folgenden Eigenschaften:
(1) Mit A ′ := AI·, b ′ := bI gilt P = (A ′ , b ′ ) = ∅, rang(A ′ ) = |I| = k, k < n und
P = (A ′ , b ′ ) = P = (A, b).
(2) A ′ B ist eine zulässige Basis von A′ .
Wir formulieren zunächst ein lineares „Hilfsprogramm“. Sei D := (A, I) und betrachte
das LP:
max 1 T Ax
x
D = b
y
x, y ≥ 0
(9.39)
wobei x T = (x1, . . . , xn), y T = (yn+1, . . . , yn+m) gesetzt wird. (9.39) erfüllt die Zusatzvoraussetzungen
(9.2)(a), (b), (c), und mit B = (n + 1, . . . , n + m) ist DB eine zulässige
Basis mit zugehöriger Basislösung x = 0, y = b. Es gilt offenbar
x
D = b
y
x, y ≥ 0
⇐⇒
Ax + y = b
x, y ≥ 0
daraus folgt 1 T Ax = 1 T b − 1 T y, d. h. (9.39) ist äquivalent zu max{1 T b − 1 T y | Ax + y =
b, x, y ≥ 0} bzw. zu
1 T b − min 1 T y
Ax + y =b
x, y ≥0.
(9.40)
185