aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5.4 LP/IP-Aspekte von Bäumen und Wegen
eine Komponente xe. Wir schreiben den Vektor dann wie folgt: x = (xe)e∈E. Für eine
beliebige Teilmenge F ⊆ E definieren wir ihren Inzidenzvektor χ F = (χ F e )e∈E dadurch,
dass wir setzen: χ F e = 1, falls e ∈ F , und χ F e = 0, falls e ∈ F . Definieren wir:
W := {F ⊆ E | (V, F ) ist ein Wald in G}, so können wir die Aufgabe, einen gewichtsmaximalen
Wald in W zu finden, nun auffassen als die Aufgabe, in der Menge aller
Inzidenzvektoren
F := {χ F ∈ R E | F ∈ W}
von Wäldern einen Vektor mit höchstem Gewicht zu bestimmen. Die Kantengewichte ce
können wir analog zu einem Vektor c = (ce)e∈E ∈ R E zusammenfassen, und damit haben
wir die Aufgabe, einen gewichtsmaximalen Wald zu finden, als Optimierungsproblem mit
linearer Zielfunktion
max c T x =
e∈E
cexe
x ∈ F
über einer Menge von 0/1-Vektoren formuliert.
Um diese Aufgabe als lineares ganzzahliges Programm auffassen zu können, müssen wir
nun noch lineare Ungleichungen finden, so dass die ganzzahligen Lösungen des Ungleichungssystems
genau die Vektoren in F sind. Wir beginnen mit einer Trivialüberlegung.
Die Komponenten der Vektoren in F nehmen nur die Werte 0 oder 1 an. Damit erfüllt
jedes Element von F die Ungleichungen
0 ≤ xe ≤ 1 ∀e ∈ E.
Nun gilt es, ein System von Ungleichungen zu „erraten“, das von allen Elementen
aus F erfüllt wird, und das die Eigenschaft hat, dass jeder 0/1-Vektor, der nicht in F
ist, mindestens eine der Ungleichungen des Systems verletzt. Die Idee dazu liefert die
Definition. Ein Wald (V, F ), F ⊆ E ist dadurch gekennzeichnet, dass (V, F ) keinen Kreis
enthält. Fordern wir also, dass für jeden Kreis C ⊆ E die Ungleichung
x(C) :=
xe ≤ |C| − 1
e∈C
(genannt Kreisungleichung) erfüllt sein muss, so erfüllt nach Definition jeder Inzidenzvektor
eines Waldes jede dieser Ungleichungen. Ist χ H der Inzidenzvektor einer Kantenmenge
H ⊆ E, die einen Kreis C enthält, so gilt:
e∈C
χ H e = |C|
und damit verletzt χ H die zu C gehörige Kreisungleichung. Wir fassen zusammen: Das
System von Ungleichungen
0 ≤ xe ≤ 1 ∀e ∈ E,
x(C) ≤ |C| − 1 ∀C ⊆ E, C Kreis in G
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