aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7 Flüsse mit minimalen Kosten
Das im vorhergehenden Kapitel behandelte Maximalflussproblem ist eines der Basisprobleme
der Netzwerkflusstheorie. Es gibt noch weitere wichtige und anwendungsreiche
Netzwerkflussprobleme. Wir können hier jedoch aus Zeitgründen nur wenige dieser Probleme
darstellen und analysieren. Der Leser, der an einer vertieften Kenntnis der Netzwerkflusstheorie
interessiert ist, sei auf die am Anfang von Kapitel 6 erwähnten Bücher
und Übersichtsartikel verwiesen.
7.1 Flüsse mit minimalen Kosten
Häufig tritt das Problem auf, durch ein Netzwerk nicht einen maximalen Fluss senden
zu wollen, sondern einen Fluss mit vorgegebenem Wert, der bezüglich eines Kostenkriteriums
minimale Kosten verursacht. Wir wollen hier nur den Fall einer linearen Kostenfunktion
behandeln, obwohl gerade auch konkave und stückweise lineare Kosten (bei
Mengenrabatten) eine wichtige Rolle spielen.
Sind ein Digraph D = (V, A) mit Bogenkapazitäten c(a) ≥ 0 für alle a ∈ A und Kostenkoeffizienten
w(a) für alle a ∈ A gegeben, sind s, t ∈ V zwei verschiedene Knoten, und
ist f ein vorgegebener Flusswert, dann nennt man die Aufgabe, einen zulässigen (s, t)-
Fluss x mit Wert f zu finden, dessen Kosten
a∈A waxa minimal sind, ein Minimalkosten-Netzwerkflussproblem.
Analog zur LP-Formulierung (6.5) des Maximalflussproblems
kann man ein Minimalkosten-Flussproblem als lineares Programm darstellen. Offenbar
ist jede Optimallösung des linearen Programms (7.1) ein kostenminimaler c-kapazitierter
(s, t)-Fluss mit Wert f.
min
waxa
a∈A
x(δ − (v)) − x(δ + (v)) = 0 ∀v ∈ V \ {s, t}
x(δ − (t)) − x(δ + (t)) = f
0 ≤ xa ≤ ca ∀a ∈ A
(7.1)
Minimalkosten-Flussprobleme kann man daher mit Algorithmen der linearen Optimierung
lösen. In der Tat gibt es besonders schnelle Spezialversionen des Simplexalgorithmus
für Probleme des Typs (7.1). Sie werden Netzwerk-Simplexalgorithmen genannt. Wir werden
in Abschnitt 7.3 genauer auf diesen Algorithmentyp eingehen.
Es gibt viele kombinatorische Spezialverfahren zur Lösung von Minimalkosten-Flussproblemen.
Alle „Tricks“ der kombinatorischen Optimierung und Datenstrukturtechniken
der Informatik werden benutzt, um schnelle Lösungsverfahren für (7.1) zu produzieren.
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