aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.3 Das Simplexverfahren
(Die Transformationsformeln (9.18) sind im wesentlichen die gleichen wie in Satz (9.12),
nur dass diesmal die Zielfunktion gleich mittransformiert wird.) △
Beweis. Formel (a):
cT − cT TB ′ :=
B ′A −1
d. h. mit Satz (9.12) gilt (A −1
B ′ = EA −1
B ):
TB ′ :=
B ′ A, −cT −1
B ′A
A −1
B ′ A, A −1
B ′ b
(c T , 0) − c T B ′E(A −1
B
E(TB) {1,...,m}·
B ′
b
,
A, A−1
B b)
Sei K := {1, . . . , m}. Aus (TB ′)K· = E(TB)K· ergeben sich die beiden unteren Transfor-
z, dann gilt
mationsformeln in (a). Sei z ∈ K m und y = A −1
B
.
c T B ′A−1 B ′ z = c T B ′EA−1 B z = cTB ′Ey = cTBy + (c T B ′η − cpr)yr
(mit η aus Satz (9.12)). Mit (9.15) folgt nun c T B ′η − cpr = cs
(c T , 0) − c T B ′A−1
ars
= (TB)0s
. Also gilt:
ars
B ′ (A, b) = (c T , 0) − c T BA −1
−1
B (A, b) − (TB)0sars(A B (A, b))r·
= (TB)0· − (TB)0s
(TB)r·
ars
Die Formeln (b) ergeben sich direkt aus (a). ✷
(9.22) Beispiel. . Wir betrachten das lineare Programm
max x1 + 2x2
x1 ≤ 4
2x1 + x2 ≤ 10
−x1 + x2 ≤ 5
x1, x2 ≥ 0,
dessen Lösungsmenge in Abbildung 9.3. graphisch dargestellt ist.
Wir führen Schlupfvariablen x3, x4, x5 ein und transformieren unser LP in folgende
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