aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

6 Maximale Flüsse in Netzwerken
der Theorie der linearen Optimierung) zu (6.5) dual.
min
a∈A
caya
ya + zv − zu ≥ 0 falls a = (u, v) ∈ A(V \ {s, t}),
ya − zu ≥ −1 falls a = (u, s), u = t,
ya + zv ≥ 1 falls a = (s, v), v = t,
ya − zu ≥ 0 falls a = (u, t), u = s,
ya + zv ≥ 0 falls a = (t, v), v = s,
ya ≥ 1 falls a = (s, t),
ya ≥ −1 falls a = (t, s),
ya ≥ 0 für alle a ∈ A.
Führen wir zusätzlich (zur notationstechnischen Vereinfachung) die Variablen zs und
zt ein und setzen sie mit 1 bzw. 0 fest, so kann man dieses LP äquivalent, aber etwas
kompakter wie folgt schreiben:
min
a∈A
caya
ya + zv − zu ≥ 0 für alle a = (u, v) ∈ A,
zs = 1
zt = 0
ya ≥ 0 für alle a ∈ A.
(6.6)
Wir benutzen nun (6.5) und (6.6), um folgenden berühmten Satz, der auf Ford, Jr. and
Fulkerson (1956) und P. Elias and Shannon (1956) zurückgeht, zu beweisen.
(6.7) Satz (Max-Flow-Min-Cut-Theorem). Gegeben seien ein Digraph D = (V, A)
mit Bogenkapazitäten ca ∈ R, ca ≥ 0 für alle a ∈ A, und zwei verschiedene Knoten
s, t ∈ V . Dann ist der maximale Wert eines zulässigen (s, t)-Flusses gleich der minimalen
Kapazität eines (s, t)-Schnittes. △
Beweis. Aufgrund von Lemma (6.4) genügt es zu zeigen, dass es einen (s, t)-Schnitt gibt,
dessen Kapazität gleich dem maximalen Flusswert ist. Da alle Variablen beschränkt sind
und der Nullfluss zulässig ist, hat (6.5) eine optimale Lösung. Sei also x∗ ein optimaler
zulässiger (s, t)-Fluss mit Wert val(x∗ ). Aufgrund des Dualitätssatzes der linearen Programmierung
gibt es eine Lösung, sagen wir y∗ a, a ∈ A und z∗ v, v ∈ V , des zu (6.5) dualen
Programms (6.6) mit val(x∗ ) =
a∈A cay∗ a. Wir setzen: W := {u ∈ V | z∗ u > 0} und
zeigen, dass δ + (W ) ein (s, t)-Schnitt mit c(δ + (W )) = val(x∗ ) ist.
Offenbar gilt s ∈ W , t ∈ W , also ist δ + (W ) ein (s, t)-Schnitt. Ist a = (u, v) ∈ δ + (W ),
dann gilt z∗ u > 0, z∗ v ≤ 0 und folglich y∗ a ≥ z∗ u − z∗ v > 0. Aufgrund des Satzes vom
schwachen komplementären Schlupf muss dann in der zu y∗ a gehörigen Ungleichung xa ≤
ca des primalen Programms (6.5) Gleichheit gelten. Also erfüllt der optimale (s, t)-Fluss
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