aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
Dieses Kapitel ist einem Thema gewidmet, das algorithmisch sehr einfach zu lösen ist:
Bestimme einen kostenminimalen aufspannenden Baum in einem Graphen. Wir werden
Varianten dieser Aufgabe und auch „gerichtete Versionen“ betrachten.
Bevor wir jedoch algorithmischen Fragen nachgehen, sollen Wälder aus graphentheoretischer
Sicht analysiert werden. Das Ziel des ersten Abschnitts dieses Kapitels ist nicht
eine umfassende Behandlung des Themenkreises, sondern das Einüben typischer graphentheoretischer
Beweisargumente. Bäume sind sehr einfache Objekte. Die meisten Eigenschaften
von Bäumen können mit minimalem Aufwand nachgewiesen werden. Die dabei
benutzten Argumente tauchen jedoch in der Graphentheorie – meistens in etwas komplizierterer
Form – immer wieder auf. Wir hoffen, diese Beweistechniken hier sichtbar
machen zu können.
5.1 Graphentheoretische Charakterisierungen von Bäumen
und Arboreszenzen
Wir erinnern daran, dass ein Graph, der keinen Kreis enthält, Wald genannt wird, dass
ein Graph G zusammenhängend heißt, wenn es in G zwischen je zwei Knoten eine sie
verbindende Kette (oder äquivalent dazu, einen sie verbindenden Weg) gibt, und dass
ein Baum ein zusammenhängender Wald ist. Ein Untergraph eines Graphen G = (V, E),
der ein Baum ist und alle Knoten V enthält, heißt aufspannender Baum (von G). Eine
Zusammenhangskomponente (kurz: Komponente) eines Graphen G ist ein maximaler zusammenhängender
Untergraph von G. Wir werden nun einige Eigenschaften von Bäumen
und Wäldern beweisen. Wir beginnen mit trivialen Beobachtungen.
(5.1) Lemma. Ein Baum G = (V, E) mit mindestens zwei Knoten hat mindestens
zwei Knoten mit Grad 1. △
Beweis. Da ein Baum zusammenhängend ist, liegt jeder Knoten auf mindestens einer
Kante. Wir wählen einen beliebigen Knoten, sagen wir v. Wir starten in v einen (vereinfachten)
DFS-Algorithmus. Wir markieren v und gehen zu einem Nachbarn, sagen wir w,
von v. Wir markieren w. Hat w den Grad 1, stoppen wir die Suche. Andernfalls gehen wir
zu einem von v verschiedenen Nachbarn von w und fahren so fort. Da ein Baum keinen
Kreis enthält, kehrt dieses Verfahren niemals zu einem bereits markierten Knoten zurück.
Da der Graph endlich ist, muss das Verfahren irgendwann mit einem Knoten mit Grad 1
aufhören. Hat der Anfangsknoten v auch Grad 1, können wir aufhören. Falls nicht, gehen
wir zu einem von w verschiedenen Nachbarn von v und wiederholen das obige Verfahren.
Auf diese Weise finden wir einen zweiten Knoten mit Grad 1. ✷
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