aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7.3 Der Netzwerk-Simplex-Algorithmus
Beweis. Setze T ′ := (T + e) − f. Nach Definition von y ′ und der reduzierten Kosten
bezüglich y gelten die Gleichungen
cuv + y ′ u − y ′ v = 0,
¯ce = ¯cuv = cuv + yu − yv.
(7.36)
Betrachte Knoten i ∈ T1. Da der [i, r]-Weg in T und T ′ übereinstimmt und sich darauf
die Flüsse nicht ändern, folgt aus yr = y ′ r (wir haben r = k und yk = 0 per Definition)
y ′ i = yi.
Im Fall u ∈ T1, v ∈ T2 gilt y ′ u = yu und mit (7.36) folgt
y ′ v = cuv + y ′ u = cuv + yu = yv + ¯ce.
Außerdem stimmen die [v, i]-Pfade in T und T ′ für alle i ∈ T2 überein, sodass yi = yi + ¯ce
gilt.
Der Fall u ∈ T2, v ∈ T1 ist analog: Wegen y ′ v = yv und (7.36) gilt
y ′ u = −cuv + y ′ v = −cuv + yv = yu − ¯ce,
woraus sich dann yi = yi − ¯ce für alle i ∈ T2 ergibt. ✷
(7.37) Satz. Sei I eine Instanz des Minimalkosten-Flussproblems mit rationalen Daten
c, l, u, b. Dann terminiert Algorithmus (7.29) nach endlich vielen Schritten wenn Regel
(7.32) zur Auswahl des Bogens f im Augmentieren-Schritt verwendet wird. △
Beweis. Wir können o. B. d. A. annehmen, dass die Eingabedaten ganzzahlig sind. Dann
verringert jede Augmentierung mit positivem ε die Kosten um mindestens 1. Da die
optimalen Kosten nach unten beschränkt sind, kann dies nur endlich oft auftreten. Zu
zeigen ist daher, dass jeweils nur endlich viele aufeinanderfolgende Augmentierungen
mit ε = 0 durchgeführt werden. Dafür verwenden wir ein ähnliches Argument wie für
positives ε, allerdings bezogen auf eine andere Funktion, die „den Fortschritt misst“; statt
der Kosten betrachten wir die Summe der Knotenpreise
i∈V yi. Die maximale Differenz
max
i,j∈V,i=j |yi − yj|
zweier Knotenpreise ist beschränkt durch |V | maxa∈A ′ |ca| =: M ′ < ∞. Da yk = 0 ist,
gilt yi ≤ M ′ für alle i ∈ V . Daher ist die maximale Summe aller Knotenpreise nach oben
beschränkt. Wenn wir nun zeigen können, dass die Summe der Knotenpreise bei jedem
Augmentieren-Schritt mit ε = 0 zunimmt, d. h.
i∈V y′
i > i∈V yi gilt, so folgt, dass es
nur endlich viele solche aufeinanderfolgende Augmentieren-Schritte geben kann.
Betrachten wir einen Augmentieren-Schritt mit ε = 0, mit stark zulässiger Baumlösung
(x, T, L, U) und C, e = (u, v), f, y, y ′ wie bisher. Wir unterscheiden zwei Fälle gemäß
des Pricing-Schritts (siehe Abbildung 7.3):
e ∈ L, ¯ce < 0: Der Bogen e und C sind gleich orientiert. Dann liegt f zwischen dem
Scheitel s von C und u: Weil nämlich (x, T, L, U) stark zulässig ist, ist der [v, s]-
Weg P als Teil des [v, r]-Weges augmentierend bezüglich x. Wegen ε = 0 kann dann
kein Bogen auf P blockierend sein; insbesondere kann f nicht auf P liegen. Daher
ist u ∈ T2 und wir haben wegen Lemma 7.34 y ′ i = yi − ¯ce > yi für alle i ∈ T2.
147