aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

10.1 Fourier-Motzkin-Elimination
(10.7) Satz. Seien A eine (m, n)-Matrix, b ∈ K m , j ∈ {1, . . . , n} und I, J eine Partition
der Zeilenindexmenge M = {1, . . . , m}. Seien D ∈ K r×n , d ∈ K r die durch Fourier-
Motzkin-Elimination der Variablen j gewonnene Matrix bzw. Vektor.
Setze E := p −1 ((Z ∩ I) ∪ ((N × P ) ∩ (I × I))), F := R \ E, (wobei p die in (10.1)
Schritt 2 definierte Abbildung ist), dann gilt: Das System
AI·x ≤ bI, AJ·x < bJ
hat eine Lösung genau dann, wenn das System
DE·x ≤ dE, DF ·x < dF
eine Lösung hat. △
Beweis. Hausaufgabe. ✷
Wir können nun die Fourier-Motzkin-Elimination sukzessive auf alle Spaltenindizes
anwenden. Ist in einem Schritt die neu konstruierte Matrix leer, so ist das System konsistent.
Wir wollen herausfinden, was passiert, wenn Ax ≤ b nicht konsistent ist. Wir
nehmen daher an, dass keine der sukzessiv konstruierten Matrizen leer ist.
Eliminieren wir die 1. Spalte von A, so erhalten wir nach Satz (10.4) eine (r1, n)-Matrix
D1 und einen Vektor d1 ∈ K r1 mit
Ax ≤ b ist konsistent ⇐⇒ D1x ≤ d1 ist konsistent.
Die erste Spalte von D1 ist eine Nullspalte. Nun eliminieren wir die zweite Spalte von
D1 und erhalten mit Satz (10.4) eine (r2, n)-Matrix D2 und einen Vektor d2 ∈ K r2 mit
D1x ≤ d1 ist konsistent ⇐⇒ D2x ≤ d2 ist konsistent.
Die erste und die zweite Spalte von D2 bestehen aus lauter Nullen. Wir eliminieren nun
die dritte Spalte von D2 und fahren auf diese Weise fort, bis wir die n-te Spalte eliminiert
haben. Insgesamt erhalten wir:
Ax ≤ b ist konsistent ⇐⇒ D1x ≤ d1 ist konsistent ⇐⇒ . . . ⇐⇒ Dnx ≤ dn ist konsistent.
Was haben wir durch diese äquivalenten Umformungen gewonnen? Nach Konstruktion
hat die n-te Matrix Dn dieser Folge von Matrizen nur noch Nullspalten, ist also eine
Nullmatrix. Das System Dnx ≤ dn ist also nichts anderes als 0x ≤ dn, und die Konsistenz
dieses letzten Ungleichungssystems ist äquivalent zur Konsistenz von Ax ≤ b. Die
Konsistenz von 0x ≤ dn ist trivial überprüfbar, denn 0x ≤ dn hat genau dann keine
Lösung, wenn der Vektor dn ∈ K rn eine negative Komponente hat; das heißt, dn ≥ 0 ist
äquivalent zur Konsistenz von Ax ≤ b.
Aus Satz (10.6) folgt außerdem Folgendes: Es existiert eine Matrix U1 ∈ K (r1,m) mit
U1 ≥ 0 und
D1 = U1A, d1 = U1b.
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