aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

4 Komplexitätstheorie und Speicherung von Graphen
Die Probleme „Hat ein Graph G einen Kreis?“, „Hat ein Graph G einen hamiltonschen
Kreis?“ sind somit in N P. Hat nämlich G einen Kreis oder hamiltonschen Kreis, so
wählen wir diesen als Objekt Q. Dann entwerfen wir einen polynomialen Algorithmus,
der für einen Graphen G und eine zusätzliche Kantenmenge Q entscheidet, ob Q ein Kreis
oder hamiltonscher Kreis von G ist. Auch die Frage „Ist n ∈ N eine zusammengesetzte
Zahl?“ ist in N P, denn liefern wir als „Objekt“ zwei Zahlen = 1, deren Produkt n ist, so
ist n keine Primzahl. Die Überprüfung der Korrektheit besteht somit in diesem Fall aus
einer einzigen Multiplikation.
Die obige Definition der Klasse N P enthält einige Feinheiten, auf die ich ausdrücklich
hinweisen möchte.
– Es wird nichts darüber gesagt, wie das Zusatzobjekt Q zu finden ist. Es wird lediglich
postuliert, dass es existiert, aber nicht, dass man es z. B. mit einem polynomialen
Algorithmus finden kann.
– Die Laufzeit des Algorithmus 2 in 4.3 ist nach Definition polynomial in 〈I〉. Da
der Algorithmus Q lesen muss, folgt daraus, dass die Kodierungslänge von Q durch
ein Polynom in der Kodierungslänge von I beschränkt sein muss. Auf die Frage
„Hat die Gleichung x 2 + y 2 = n 2 eine Lösung x, y?“ ist „x = n und y = 0“ ein
geeignetes Zusatzobjekt Q, aber weder „x = y = n √ 0.5“ ( √ 0.5 kann nicht endlich
binär kodiert werden) noch „x = n22n
22n , y = 0“ (die Kodierungslänge von x ist
exponentiell in der Inputlänge des Problems) wären als Zusatzobjekt Q geeignet,
um die Korrektheit der „ja“-Antwort in polynomialer Zeit verifizieren zu können.
– Ferner ist die Definition von N P unsymmetrisch in „ja“ und „nein“. Die Definition
impliziert nicht, dass wir auch für die Problembeispiele mit „nein“-Antworten Objekte
Q und polynomiale Algorithmen mit den in 4.3 spezifizierten Eigenschaften
finden können.
Wir sagen, dass die Entscheidungsprobleme, die Negationen von Problemen aus der Klasse
N P sind, zur Klasse co−N P gehören. Zu co−N P gehören folglich die Probleme „Hat
G keinen Kreis?“, „Hat G keinen hamiltonschen Kreis?“, „Ist n ∈ N eine Primzahl?“. Es
ist bekannt, dass das erste und das letzte dieser drei Probleme ebenfalls zu N P gehören.
Diese beiden Probleme gehören also zu N P ∩ co−N P. Vom Problem „Hat G keinen hamiltonschen
Kreis?“ weiß man nicht, ob es zu N P gehört. Niemand hat bisher Objekte
Q und einen Algorithmus finden können, die den Forderungen 1 und 2 aus 4.3 genügen.
Das Symbol N P ist abgeleitet vom Begriff „nichtdeterministischer polynomialer Algorithmus“.
Dies sind – grob gesagt – Algorithmen, die am Anfang „raten“ können, also
einen nichtdeterministischen Schritt ausführen können und dann wie übliche Algorithmen
ablaufen. Ein nichtdeterministischer Algorithmus „löst“ z. B. das hamiltonsche Graphenproblem
wie folgt: Am Anfang rät er einen hamiltonschen Kreis. Gibt es keinen, so hört
das Verfahren auf. Gibt es einen, so überprüft er, ob das geratene Objekt tatsächlich ein
hamiltonscher Kreis ist. Ist das so, so antwortet er mit „ja“.
Trivialerweise gilt P ⊆ N P, da für Probleme in P Algorithmen existieren, die ohne
Zusatzobjekte Q in polynomialer Zeit eine „ja“- oder „nein“-Antwort liefern. Also gilt
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