aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.4 Spalten- und Zeilenauswahlregeln
kleineren Problemen durchaus einem mehrfachen Basisaustausch entspricht und sich daher
nicht auszahlt. Bei großen Problemen ist i. A. der Basiswechsel rechenaufwendiger als
die komplizierte Auswahl der Pivotspalte. Hier zahlt sich dann die sorgfältige Auswahl
der Pivotspalte bei der Gesamtrechenzeit aus.
Bei der Auswahl von Pivotzeilen gibt es nicht so viele interessante Regeln, aber hier
kann durch geschickte Wahl die Endlichkeit des Simplexverfahrens erzwungen werden.
Im folgenden gehen wir davon aus, dass der Spaltenindex s durch eine Spaltenauswahl-
regel (9.27) bestimmt wurde und setzen R := {i ∈ {1 . . . , m} |
zunächst eine Definition.
bi
ais = λ0}. Wir treffen
(9.28) Definition. Ein Vektor x T = (x1, . . . , xn) ∈ K n heißt lexikographisch positiv
(wir schreiben: x ≻ 0), wenn die erste von Null verschiedene Komponente positiv ist
(d. h. ist i := min supp(x), dann ist xi > 0). Wir schreiben x ≻ y, falls x − y ≻ 0 gilt.△
(9.29) Bemerkung. „≻“ definiert eine totale Ordnung im K n . Wir schreiben x y ⇐⇒
x ≻ y ∨ x = y und bezeichnen mit lex–min S das lexikographische Minimum einer
endlichen Menge S ⊆ K n . △
(9.30) Bemerkung (1. Lexikographische Zeilenauswahlregel). Wähle r ∈ R so
dass
1
ars
(A −1
B A)r· = lex – min{ 1
(A
ais
−1
B A)i· | ais > 0, i ∈ {1, . . . , m}}.
Mit Regel (9.30) wird jedes Simplexverfahren unabhängig von der Spaltenauswahlregel
endlich.
(9.31) Bemerkung (Endlichkeit des Simplexalgorithmus). Wird im Simplexverfahren
die 1. Lexikographische Regel (9.30) verwendet, so endet der Algorithmus nach
endlich vielen Schritten, gleichgültig, welche Spaltenauswahlregel verwendet wird. △
Beweis. Wir zeigen zuerst:
1
ars
(A −1
B A)r· ≺ 1
(A
ais
−1
B A)i· ∀ i = r, (9.32)
das heißt, das lexikographische Minimum wird eindeutig angenommen. Seien r und r ′
Indizes mit
1
ars
(A −1
B A)r· = 1
ar ′ (A
s
−1
B A)r ′ ·
△
(9.33)
und o. B. d. A. sei A = (AB, AN). Dann gilt (A −1
B A)r· = (A −1
B )r·A = (eT r , Ar·) und
(A −1
B A)r ′ · = (eT r ′, Ar ′ ·) und (9.33) impliziert (eT r , Ar·) = ars
(eT r ′, Ar ′ ·). Damit folgt er =
ar ′ s
ars
a
er
r ′ s
′ und somit r = r′ . Also gilt (9.32).
Sei AB nun eine zulässige Basis von A (z. B. die Startbasis (evtl. auch die der Phase I))
und sei TB das zugehörige Simplextableau (vgl. (9.19)). O. B. d. A. sei
TB =
0 c −c T B A −1
B b
I A A −1
B b
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