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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Grundlagen und Notation 11 2.1 Graphen und Digraphen: Wichtige Definitionen und Bezeichnungen . . . . 11 2.1.1 Grundbegriffe der Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.3 Digraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4 Ketten, Wege, Kreise, Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Grundmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Vektoren und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Kombinationen von Vektoren, Hüllen, Unabhängigkeit . . . . . . . 25 2.3 Polyeder und lineare Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Diskrete Optimierungsprobleme 37 3.1 Kombinatorische Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Klassische Fragestellungen der Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Graphentheoretische Optimierungsprobleme: Beispiele . . . . . . . . . . . 42 4 Komplexitätstheorie und Speicherung von Graphen 59 4.1 Probleme, Komplexit"atsmaße, Laufzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Die Klassen P und N P, N P-Vollst"andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3 Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.1 Kanten- und Bogenlisten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.2 Adjazenzmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.3 Adjazenzlisten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5 Bäume und Wege 77 5.1 Graphentheoretische Charakterisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Optimale Bäume und Wälder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.3 Kürzeste Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.3.1 Ein Startknoten, nichtnegative Gewichte . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.3.2 Ein Startknoten, beliebige Gewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.3.3 Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren . . . . . . . . . . . . . 100 5.3.4 Min-Max-Sätze und weitere Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . 103 i
Inhaltsverzeichnis 5.4 LP/IP-Aspekte von Bäumen und Wegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.5 Exkurs: Greedy-Heuristiken für das Rucksackproblem und deren Analyse . 109 6 Maximale Flüsse in Netzwerken 115 6.1 Das Max-Flow-Min-Cut-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.2 Der Ford-Fulkerson-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.3 Einige Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7 Flüsse mit minimalen Kosten 129 7.1 Flüsse mit minimalen Kosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2 Transshipment-, Transport- u. Zuordnungsprobleme . . . . . . . . . . . . . 137 7.3 Der Netzwerk-Simplex-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 8 Grundlagen der Polyedertheorie 151 9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus 159 9.1 Basen, Basislösungen, Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.2 Basisaustausch (Pivoting), Simplexkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.3 Das Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9.4 Spalten- und Zeilenauswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.5 Die Phase I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10 Fourier-Motzkin-Elimination und Projektion 191 10.1 Fourier-Motzkin-Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.2 Lineare Optimierung und Fourier-Motzkin-Elimination . . . . . . . . . . . 198 11 Das Farkas-Lemma und Dualitätstheorie 201 11.1 Verschiedene Versionen des Farkas-Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 ii
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3.3 Graphentheoretische Optimierung
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• Schaltkreisentwurf • Standort
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Literaturverzeichnis T. L. Gertzen
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4 Komplexitätstheorie und Speicher
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4.1 Probleme, Komplexitätsmaße, L
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4.2 Die Klassen P und N P, N P-Voll
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4 4.3 Datenstrukturen zur Speicheru
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4.3 Datenstrukturen zur Speicherung
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4.3 Datenstrukturen zur Speicherung
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R. E. Tarjan. Data structures and n
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5 Bäume und Wege Der Beweis ist et
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5 Bäume und Wege (2) =⇒ (3) Ist
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5 Bäume und Wege Haben wir einen A
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5 Bäume und Wege Falls T \ {ei} zu
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5 Bäume und Wege /****************
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5 Bäume und Wege THEN w[dope[i]+j]
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5 Bäume und Wege Wie Beispiel (5.1
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5 Bäume und Wege (a) F. Schiller.
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5 Bäume und Wege DISTk(u) die Län
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5 Bäume und Wege VOR(3) = 2. Wir s
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5 Bäume und Wege 4. DO u = 1 TO v
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5 Bäume und Wege Sei nun P ein kü
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5 Bäume und Wege (b) D enthält ge
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5 Bäume und Wege C2 C1 s 4 C3 C4 2
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5 Bäume und Wege ist ein System vo
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5 Bäume und Wege heißt (allgemein
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5 Bäume und Wege Um lästige Trivi
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Literaturverzeichnis A. Goldberg. P
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6 Maximale Flüsse in Netzwerken Th
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6 Maximale Flüsse in Netzwerken de
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6 Maximale Flüsse in Netzwerken s
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Literaturverzeichnis L. R. Ford, Jr
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7 Flüsse mit minimalen Kosten Ein
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7 Flüsse mit minimalen Kosten Dami
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7 Flüsse mit minimalen Kosten Dami
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8 Grundlagen der Polyedertheorie In
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(c) Ist F = {x ∈ P | c T x = γ}
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(a) =⇒ (d): Nach Definition ist {
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(8.12) Folgerung. Sei P = P = (A, b
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9 Die Grundversion des Simplex-Algo
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