aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

2.3 Polyeder und lineare Programme
(2.8) Definition. Ein Kegel C ⊆ K n heißt polyedrisch genau dann, wenn C ein Polyeder
ist. △
(2.9) Bemerkung. Ein Kegel C ⊆ K n ist genau dann polyedrisch, wenn es eine Matrix
A ∈ K (m,n) gibt mit
C = P (A, 0). △
Beweis. Gilt C = P (A, 0), so ist C ein Polyeder und offensichtlich ein Kegel.
Sei C ein polyedrischer Kegel, dann existieren nach Definition (2.1) c) eine Matrix A
und ein Vektor b mit C = P (A, b). Da jeder Kegel den Nullvektor enthält, gilt 0 = A0 ≤ b.
Angenommen, es existiert ein x ∈ C mit Ax ≤ 0, d. h. es existiert eine Zeile von A, sagen
wir Ai·, mit t := Ai·x > 0. Da C ein Kegel ist, gilt λx ∈ C für alle λ ∈ K+. Jedoch für
λ := bi
t + 1 gilt einerseits λx ∈ C und andererseits Ai·(λx) = λt > bi, ein Widerspruch.
Daraus folgt, für alle x ∈ C gilt Ax ≤ 0. Hieraus ergibt sich C = P (A, 0). ✷
In der folgenden Tabelle 2.1 haben wir alle möglichen Transformationen aufgelistet.
Sie soll als “Nachschlagewerk” dienen.
Eine wichtige Eigenschaft von linearen Programmen ist die Tatsache, dass man effizient
erkennen kann, ob ein gegebener Punkt tatsächlich der gesuchte Optimalpunkt
ist oder nicht. Dahinter steckt die sogenannte Dualitätstheorie, die wir anhand unseres
Einführungsbeispiels aus Kapitel 1.1 erläutern wollen. Durch Anwenden der Transformationsregeln
können wir das LP (1.3) in der Form
min −6s + t (2.10a)
−s + t ≥ −1 (2.10b)
s − t ≥ −1 (2.10c)
s ≥ 2 (2.10d)
−s ≥ −3 (2.10e)
t ≥ 0 (2.10f)
− t ≥ −3. (2.10g)
schreiben. Wir wollen nun zeigen, dass der Punkt x ∗ = (3, 2) mit Zielfunktionswert −16
minimal ist.
Ein Weg, dies zu beweisen, besteht darin, untere Schranken für das Minimum zu finden.
Wenn man sogar in der Lage ist, eine untere Schranke zu bestimmen, die mit dem Zielfunktionswert
einer Lösung des Ungleichungssystems übereinstimmt, ist man fertig: Der
Zielfunktionswert irgendeiner Lösung ist immer eine obere Schranke, und wenn untere
und obere Schranke gleich sind, ist der optimale Wert gefunden.
Um eine untere Schranke für die Zielfunktion −6s + t zu finden, können wir uns zunächst
die Schranken der Variablen anschauen. Wegen Ungleichung (2.10e) haben wir
−6s ≥ −18. Zusammen mit Ungleichung (2.10f) erhalten wir −6s + t ≥ −18. Um zu dieser
unteren Schranke zu gelangen, haben wir positive Vielfache der Variablenschranken
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