aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
heißt (allgemeines) Rucksack-Problem oder Rucksackproblem.
(b) Fordern wir zusätzlich, dass xj ∈ {0, 1}, j = 1, . . . , n gilt, so heißt (KP) binäres
Rucksack-Problem oder 0/1-Rucksack-Problem. △
Zu dem (so simpel erscheinenden) Rucksackproblem gibt es eine außerordentlich umfangreiche
Literatur. Wir erwähnen hier nur zwei Bücher. Der „Klassiker“ zum Thema
ist Martello and Toth (1990), seine „Fortsetzung“ Kellerer et al. (2004). Dieses Buch mit
546 Seiten enthält so gut wie alles, was man über das Rucksack-Problem wissen will.
Wir untersuchen zwei Versionen des Greedy-Algorithmus für das Rucksack-Problem.
(5.36) Zwei Greedy-Algorithmen für das allgemeine bzw. binäre Rucksack-
Problem.
Eingabe: cj, aj ∈ N, j = 1, . . . , n und b ∈ N.
Ausgabe: Eine zulässige (approximative) Lösung für (KP) bzw. das binäre Rucksackproblem.
1. Zielfunktionsgreedy: Ordne die Indizes, so dass c1 ≥ c2 ≥ . . . ≥ cn gilt.
1’. Gewichtsdichtengreedy: Berechne die Gewichtsdichten ρj := cj/aj, j = 1, 2, . . . , n,
und ordne die Indizes so dass ρ1 ≥ ρ2 ≥ . . . ≥ ρn gilt.
2. DO j = 1 TO n:
allgemeiner Rucksack:
Setze xj := ⌊b/aj⌋ und b := b − ⌊b/aj⌋.
0/1-Rucksack:
Falls aj > b, setze xj := 0.
Falls aj ≤ b, setze xj := 1 und b := b − aj.
END. △
Die Laufzeit der in (5.36) beschriebenen Algorithmen ist offensichtlich O(n log(n)),
wobei das Sortieren die Hauptarbeit erfordert.
Wir nennen einen Algorithmus A ɛ-approximativ, 0 < ɛ ≤ 1, falls er für jedes Problembeispiel
I eines Maximierungsproblems einen Wert cA(I) liefert, der mindestens einen
ɛ-Anteil des Optimalwerts copt(I) von I beträgt, in Formeln, falls
cA(I) ≥ ɛcopt(I). (5.37)
(5.38) Bemerkung. Der Zielfunktionsgreedy kann für das allgemeine und auch für
das binäre Rucksack-Problem beliebig schlechte Lösungen liefern, d. h. es gibt kein ɛ,
0 < ɛ ≤ 1, sodass dieser Greedy-Algorithmus ɛ-approximativ ist. △
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