aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

8 Grundlagen der Polyedertheorie
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit „Begrenzungsflächen“ von Polyedern P und
erarbeiten für die lineare Optimierung grundlegende (algebraische) Charakterisierungen.
Wir erinnern an die Einführung der Grundbegriffe der Polyedertheorie und an die Festlegung
einiger Bezeichnungen in Abschnitt 2.3. Insbesondere sei noch einmal erwähnt,
dass wir ein Polyeder, das als Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems Ax ≤ b
definiert ist, mit P (A, b) bezeichnen. Ferner wollen wir nochmals auf eine die Schreibtechnik
vereinfachende Konvention hinweisen. Wir betrachten Matrizen und endliche Mengen
als (im Wesentlichen) ein und dieselben Objekte. Ist z. B. A eine (m, n)-Matrix, so schreiben
wir conv(A) und meinen damit die konvexe Hülle der Spaltenvektoren von A. Ist
umgekehrt z. B. V ⊆ K n eine endliche Menge, so fassen wir V auch als eine (n, |V |)-
Matrix auf und schreiben V T , um die Matrix zu bezeichnen, deren Zeilen die Vektoren
aus V sind. V T ist natürlich nicht eindeutig definiert, da wir keine Reihenfolge der Vektoren
aus V angegeben haben. Wir werden diese Schreibweise jedoch nur dann benutzen,
wenn es auf die Reihenfolge der Zeilen nicht ankommt.
(8.1) Definition. Es seien S ⊆ K n , a ∈ K n , α ∈ K.
(a) Die Ungleichung a T x ≤ α heißt gültig bezüglich S, falls S ⊆ {x ∈ K n | a T x ≤ α}.
(b) Eine Hyperebene H = {x | a T x = α}, a = 0, heißt Stützhyperebene von S, falls
a T x ≤ α gültig bezüglich S und S ∩ H = ∅ ist. △
Zu sagen, dass a T x ≤ α, a = 0, gültig bezüglich S ist, heißt nichts anderes als: S ist
im Halbraum a T x ≤ α enthalten.
Wir werden nun diejenigen Teilmengen von Polyedern untersuchen, die als Durchschnitte
mit Stützhyperebenen entstehen.
(8.2) Definition. P ⊆ K n sei ein Polyeder. Eine Menge F ⊆ P heißt Seitenfläche von
P , wenn es eine gültige Ungleichung c T x ≤ γ bezüglich P gibt mit
F = P ∩ {x | c T x = γ}.
Eine Seitenfläche F von P heißt echt, wenn F = P gilt. F heißt nichttrivial, wenn
∅ = F = P gilt. Ist c T x ≤ γ gültig bezüglich P , dann heißt
F := P ∩ {x | c T x = γ}
die von c T x ≤ γ induzierte oder definierte Seitenfläche. △
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