aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
ders vorgehen: z. B. könnte man nach der schnellsten Route suchen, die eine vorgegebene
km-Zahl nicht überschreitet. Der Grund dafür, dass Navigationssysteme solche Optionen
nicht anbieten, liegt darin, dass Kürzeste-Wege-Probleme mit Nebenbedingungen in der
Regel N P-schwer sind. Das ist z. B. so bei „schnellster Weg mit km-Beschränkung“ oder
„kürzester Weg mit Zeitbeschränkung“.
Noch besser für den Autofahrer wäre die Angabe der Pareto-Menge. Im Falle der beiden
Zielfunktionen „kürzester Weg“ und „schnellster Weg“ müsste das Navigationssystem
alle Wege angeben, die „nicht dominiert“ sind. Solche Wege haben die Eigenschaft, dass
beim Versuch, die Weglänge kürzer zu machen, die Fahrzeit erhöht wird oder umgekehrt.
Das hierbei unüberwindliche Problem ist, dass die Kardinalität der Pareto-Menge
exponentiell in der Kodierungslänge der Daten wachsen kann. Die Navigationssysteme
würden „unendlich lange“ rechnen und der Autofahrer in der Informationsflut ertrinken.
Aus diesem theoretischen Grund wird nur mit einer Skalierung gearbeitet, die durch den
Nutzer (falls er das will) vorgegeben wird.
Man könnte glauben, dass Fahrzeugnavigation das größte Anwendungsfeld von Methoden
zur Berechnung kürzester Wege sei, aber der Umfang der Verwendung dieser Methoden
ist im Internet noch viel größer. Das derzeit am häufigsten verwendete Routing-
Protokoll ist das „Open Shortest Path First-Protokoll“ (kurz: OSPF). Bei Verwendung
dieses Protokolls wird für jedes Datenpaket ein kürzester Weg (u. U. mehrfach) bestimmt,
und wenn man allein die Anzahl der E-Mails abschätzt, die weltweit täglich versandt werden,
so sieht man sehr schnell, wie häufig die Bestimmung kürzester Wege zum Einsatz
kommt. Ich kann hier das OSPF-Protokoll nicht im Detail erklären und verweise dazu
auf Internetquellen, z. B. Wikipedia.
Die am Ende von Abschnitt 5.2 genannten Webseiten bieten auch verschiedene Algorithmen
zur Berechnung kürzester Wege an.
5.4 LP/IP-Aspekte von Bäumen und Wegen
Wir haben nun gelernt, wie man minimale Bäume, maximale Wälder und kürzeste Wege
bestimmen kann. Dies ist mit theoretisch und praktisch hocheffizienten Algorithmen möglich.
Häufig ist das Auffinden von Bäumen und Wegen jedoch nur ein Teilproblem eines
komplizierten mathematischen Modells, welches mit Methoden der gemischt-ganzzahligen
Optimierung behandelt werden muss. Und ebenso häufig treten Zusatzanforderungen an
die Bäume und Wege auf, die aus diesen einfachen Problemen N P-schwere Aufgaben
machen. In solchen Fällen (und nicht nur dabei) ist es erforderlich, Bäume und Wege-
Probleme als ganzzahlige (oder wenn möglich lineare) Programme zu formulieren. Wir
deuten nachfolgend an, wie das gemacht werden kann.
Wir beginnen mit Wäldern in einem gegebenen Graphen G = (V, E) mit Kantengewichten
ce, e ∈ E. Wir wollen ein lineares Programm aufstellen, dessen ganzzahlige
Lösungen den Wäldern in G entsprechen. Dazu müssen wir lernen, wie man eine Kantenmenge
F ⊆ E als Vektor darstellt. Wir betrachten hierzu den Vektorraum R E . Man
kann diesen als die Menge der Abbildungen von E in R auffassen. Die (für uns) angenehmste
Sichtweise ist die folgende: Ein Vektor x ∈ R E hat für jedes Element e ∈ E
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