aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

10.1 Fourier-Motzkin-Elimination
Ganz offensichtlich können einige der Koeffizienten gekürzt werden. Wir sehen, dass die
Zeilen (1), (6), (7) obere und die Ungleichungen (2), (3), (4), (5) untere Schranken auf den
für x1 zulässigen Wert liefern. Wir sehen aber auch, dass die Eliminationsmethode viele
überflüssige (wir werden das später redundante nennen) Ungleichungen liefert.
Rechentechnisch ist es offensichtlich geschickter, die Zeilen der Matrix A vor Beginn
des Algorithmus zu skalieren. In einem Vorbereitungsschritt multiplizieren wir jede Zeile
Ai· der Matrix A und die Zahl bi mit dem Wert | 1 |. Nennen wir die so skalierte Matrix
aij
ebenfalls A, so haben die Elemente der j-ten Spalte den Wert 0, +1 oder -1. Die Berechnung
der Zeile Di· der Matrix D und der rechten Seite di des neuen Ungleichungssystems
Dx ≤ d in Schritt 3.(b) geschieht dann durch
Di· := As· − At·,
di := bs − bt .
Wir wollen nun das Ergebnis der Elimination der j-ten Variablen analysieren. Wir
schauen zunächst einige Trivialfälle an.
Wenn alle Elemente der Spalte A·j Null sind, so ist A = D. Gilt M = P oder M =
N, sind also alle Elemente der Spalte A·j von Null verschieden und haben dasselbe
Vorzeichen, dann ist r = 0 und somit D die leere Matrix mit 0 Zeilen und n Spalten.
P (D, d) ist dann der gesamte Raum K n .
(10.4) Satz. Sei A ∈ K (m,n) , b ∈ K m , j ein Spaltenindex von A, und seien D ∈
K (r,n) , d ∈ K r die in (10.1) konstruierte Matrix bzw. Vektor. Es gilt:
(a) Die j-te Spalte von D ist der Nullvektor.
(b) Jede Ungleichung Di·x ≤ di, i = 1, . . . , r, ist eine konische Kombination der Ungleichungen
Ak·x ≤ bk, k = 1, . . . , m, d. h. es existiert ein Vektor u ∈ R m , u ≥ 0 mit
u T A = Di· und u T b = di.
(c) Daraus folgt, es existiert eine (r, m)-Matrix U, U ≥ 0, mit UA = D und Ub = d.
(d) Sei x ∈ K n mit xj = 0, sei ej der j-te Einheitsvektor und seien N, Z, P die in
Schritt 1 von (10.1) definierten Mengen.
Setzen wir:
Dann gilt
λi := 1
(bi − Ai·x)
aij
für alle i ∈ P ∪ N,
−∞
L :=
max{λi | i ∈ N}
falls N = ∅,
falls N = ∅,
U :=
+∞
min{λi | i ∈ P }
falls P = ∅,
falls P = ∅.
x ∈ P (D, d) ⇒ L ≤ U und x + λej ∈ P (A, b) ∀λ ∈ [L, U] (d1)
x + λej ∈ P (A, b) ⇒ λ ∈ [L, U] und x ∈ P (D, d). (d2)
△
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